ОТВЕТ НА РАССКАЗ-ЗАГАДКУ «ТРЕМЯ ДВОЙКАМИ»

(Рассказ-загадка «Тремя двойками» см. № 9)

I

Следующее (после последнего объявленного) огромное число, изображенное на конкурсе тремя двойками, равно \(2^{22!}\)

\(22!\) = приблизительно \(1,12\times10^{21}\), откуда \(2^{22!}\) = \(2^{1,12\times10^{21}}\) = \(10^3\times371\times10^{20}\) = \(10^{337100000000000000000}\).

В числе, выражающем степень 10-ти, 21 цифра.

Попробуем представить себе величину \(2^{22!}\).

Объем Солнца равен \(1,41\times10^{18}\) км³ = \(1,41\times10^{27}\) м³ =\(1,41\times10^{36}\) мм³. Число молекул в Солнце порядка \(10^{56}\).

Все эти числа несмотря на то, что Солнце в 1300000 раз больше Земли, совершенно беспомощны, чтобы выразить величину нашего числа. В самом деле: \(2^{22!}\) молекул составят \(10^{337.....-56}\) Солнц. Число из 21 цифры не стало хоть сколько-нибудь заметно меньше оттого, что из него вычли 56 единиц.

„Если бы мы оставили во всей Европе только трех пчел, — говорит известный английский астрофизик Джинс, — Европа была бы несравненно гуще наполнена пчелами, нежели мировое пространство Звездами“. Так редки звезды во вселенной.

Заполним Европу — в длину, ширину и на столько же вверх — сплошь пчелами. Представляете себе, во сколько раз увеличилось бы их число по сравнению с тремя! Проделаем нечто подобное с мировым пространством: вселенную, радиусом в 200 миллионов световых лет, укомплектуем сплошь материей. В этом невообразимо огромном пространстве уместится \(2,27\times10^{46}\) Солнц, состоящих из \(2,27\times10^{102}\) молекул... Следовательно, \(2^{22!}\) молекул могли бы заполнить \(10^{337.....-102}\) вселенных.

Если бы вам предложили перенести куда-нибудь полную вселенную молекул (предположение довольно фантастическое), а перенесли бы вы только одну молекулу, вы выполнили бы тем самым неимоверно большую часть работы, нежели уменьшением числа \(10^{337.....}\) на \(2,27\times10^{102}\). Более того, вычитание из степени 337..... не только 102, но даже миллиардов единиц не отразилось бы на ней хоть сколько-нибудь заметным образом: по-прежнему оставалась бы 21 цифра.

Попытаемся, в таком случае, подойти к задаче с другой стороны: измерим метрами хотя бы физическую длину нашего числа, выписанного полностью.

Как показано вначале, в нем \(3,371\times10^{20}\) нулей. Напишем их мельчайшим шрифтом — пусть каждый нуль займет всего 1 мм.

В световом году \(9,46\times10^{12}\) км = \(9,46\times10^{18}\) мм, откуда видно, что длина нашего числа равна 35,6 светового года. Она в два с четвертью миллиона раз больше расстояния от Земли до Солнца и в 8,3 раза — от Земли до ближайшей звезды.

Сколько же чернил нужно для написания такого числа?

Если 1 мм³ чернил можно написать 10 нулей, то всего потребуется \(3,371\times10^{19}\) мм³ = \(3,371\times10\) км³ = 33,71 км³ чернил.

Более 33 кубических километров! Такое количество чернил может образовать озеро, площадь которого равна 3370 км², а глубина 10 м.

Вот какое действительно невероятно огромное число неожиданно „вынырнуло“ из-за трех скромных двоек.

Ясно, что вычислять величины остальных, несравненно больших чисел тремя двойками и бесполезно, и бессмысленно: их длину пришлось бы мерить уже квадриллионами световых лет, количество же чернил, нужных для написания этих чисел, — не озерами, а целыми вселенными, причем даже эти масштабы вряд ли дали бы заметный эффект. Поэтому ограничимся приведением лишь формул этих чисел:

Морозов написал „антилогарифм \(2^{22!}\)“; Казанцев — „\(\left(2^{22!}\right)!\)“; Нилов — „антилогарифм \(\left(2^{22!}\right)!\)“.

II

Формула „тремя двойками любое число“

Известная Орлову формула, которая дает возможность написать тремя двойками любое целое и положительное число, выведена знаменитым английским физиком Дираком.

Формула Дирака такова:

\(n=-\log_2\log_2\sqrt{\sqrt{\sqrt{...2}}}\)

n — любое целое положительное число от нуля до бесконечности; число корней над третьей двойкой равно n. Следовательно,

\(-\log_2\log_22=0\);

\(-\log_2\log_2\sqrt2=1\);

\(-\log_2\log_2\sqrt{\sqrt2}=2\);

\(-\log_2\log_2\sqrt{\sqrt{\sqrt2}}=3\);

и так далее.

Любители алгебры смогут без труда проверить правильность этой формулы как для отдельных случаев, так и в общем виде.

Э. ЗЕЛИКОВИЧ