ОТВЕТ НА РАССКАЗ-ЗАГАДКУ «ТРЕМЯ ДВОЙКАМИ»

(Рассказ-загадка «Тремя двойками» см. № 9)

I

Следующее (после последнего объявленного) огромное число, изображенное на конкурсе тремя двойками, равно $2^{22!}$

$22!$ = приблизительно $1,12\times {10}^{21}$, откуда $2^{22!}$ = $2^{1,12\times {10}^{21}}$ = ${10}^3\times 371\times {10}^{20}$ = ${10}^{337100000000000000000}$.

В числе, выражающем степень 10-ти, 21 цифра.

Попробуем представить себе величину $2^{22!}$.

Объем Солнца равен $1,41\times {10}^{18}$ км³ = $1,41\times {10}^{27}$ м³ =$1,41\times {10}^{36}$ мм³. Число молекул в Солнце порядка ${10}^{56}$.

Все эти числа несмотря на то, что Солнце в 1300000 раз больше Земли, совершенно беспомощны, чтобы выразить величину нашего числа. В самом деле: $2^{22!}$ молекул составят ${10}^{337.....-56}$ Солнц. Число из 21 цифры не стало хоть сколько-нибудь заметно меньше оттого, что из него вычли 56 единиц.

„Если бы мы оставили во всей Европе только трех пчел, — говорит известный английский астрофизик Джинс, — Европа была бы несравненно гуще наполнена пчелами, нежели мировое пространство Звездами“. Так редки звезды во вселенной.

Заполним Европу — в длину, ширину и на столько же вверх — сплошь пчелами. Представляете себе, во сколько раз увеличилось бы их число по сравнению с тремя! Проделаем нечто подобное с мировым пространством: вселенную, радиусом в 200 миллионов световых лет, укомплектуем сплошь материей. В этом невообразимо огромном пространстве уместится $2,27\times {10}^{46}$ Солнц, состоящих из $2,27\times {10}^{102}$ молекул... Следовательно, $2^{22!}$ молекул могли бы заполнить ${10}^{337.....-102}$ вселенных.

Если бы вам предложили перенести куда-нибудь полную вселенную молекул (предположение довольно фантастическое), а перенесли бы вы только одну молекулу, вы выполнили бы тем самым неимоверно большую часть работы, нежели уменьшением числа ${10}^{337.....}$ на $2,27\times {10}^{102}$. Более того, вычитание из степени 337..... не только 102, но даже миллиардов единиц не отразилось бы на ней хоть сколько-нибудь заметным образом: по-прежнему оставалась бы 21 цифра.

Попытаемся, в таком случае, подойти к задаче с другой стороны: измерим метрами хотя бы физическую длину нашего числа, выписанного полностью.

Как показано вначале, в нем $3,371\times {10}^{20}$ нулей. Напишем их мельчайшим шрифтом — пусть каждый нуль займет всего 1 мм.

В световом году $9,46\times {10}^{12}$ км = $9,46\times {10}^{18}$ мм, откуда видно, что длина нашего числа равна 35,6 светового года. Она в два с четвертью миллиона раз больше расстояния от Земли до Солнца и в 8,3 раза — от Земли до ближайшей звезды.

Сколько же чернил нужно для написания такого числа?

Если 1 мм³ чернил можно написать 10 нулей, то всего потребуется $3,371\times {10}^{19}$ мм³ = $3,371\times 10$ км³ = 33,71 км³ чернил.

Более 33 кубических километров! Такое количество чернил может образовать озеро, площадь которого равна 3370 км², а глубина 10 м.

Вот какое действительно невероятно огромное число неожиданно „вынырнуло“ из-за трех скромных двоек.

Ясно, что вычислять величины остальных, несравненно больших чисел тремя двойками и бесполезно, и бессмысленно: их длину пришлось бы мерить уже квадриллионами световых лет, количество же чернил, нужных для написания этих чисел, — не озерами, а целыми вселенными, причем даже эти масштабы вряд ли дали бы заметный эффект. Поэтому ограничимся приведением лишь формул этих чисел:

Морозов написал „антилогарифм $2^{22!}$“; Казанцев — „$\left(2^{22!}\right)!$“; Нилов — „антилогарифм $\left(2^{22!}\right)!$“.

II

Формула „тремя двойками любое число“

Известная Орлову формула, которая дает возможность написать тремя двойками любое целое и положительное число, выведена знаменитым английским физиком Дираком.

Формула Дирака такова:

$n=-{\log }_2{\log }_2\sqrt{\sqrt{\sqrt{...2}}}$

n — любое целое положительное число от нуля до бесконечности; число корней над третьей двойкой равно n. Следовательно,

$-{\log }_2{\log }_{2}2=0$;

$-{\log }_2{\log }_2\sqrt{2}=1$;

$-{\log }_2{\log }_2\sqrt{\sqrt{2}}=2$;

$-{\log }_2{\log }_2\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=3$;

и так далее.

Любители алгебры смогут без труда проверить правильность этой формулы как для отдельных случаев, так и в общем виде.

Э. ЗЕЛИКОВИЧ