Тремя двойками

Э. ЗЕЛИКОВИЧ и М. КОРЕЦ

РАССКАЗ-ЗАГАДКА

Стояли «трескучие» морозы. В зимнем доме отдыха студенты математического факультета, отличники учебы, проводили январские каникулы.

На восьмой день встал вопрос: как веселиться? После недолго длившихся прений вынесли единогласно следующее конкретное решение: придумать что-нибудь.

— Я предлагаю математическую игру, — сказал Орлов, — «конкурс юных математиков». Предлагаю писать числа тремя двойками, — уточнил он.

Орлов встал на стул и начал объяснять условия игры.

— Это я не сам выдумал, — такая игра существует. В одном серьезном обществе она уже состоялась однажды. В каком, где и когда, я не скажу вам сейчас. Об этом — потом. А пока берите бумагу и карандаши и пишите. Любые целые и положительные числа — тремя двойками. Начинайте с наименьших. Можно пользоваться всеми математическими знаками и обозначениями, но ни одной буквы в качестве величины и ни одной цифры, кроме трех двоек. Открытия всех юных ученых поступают в письменной форме на стандартных листках бумаги в президиум. Президиум — это я. Оборотная сторона бумаги должна быть снабжена девизами в форме цитат, афоризмов, поговорок и т. д. Каждый подает по две формулы. Когда все труды будут собраны, президиум огласит их. Затем мы их запротоколируем и занесем в анналы истории на пользу потомкам. После этого будет объявлен второй тур. К концу игры изберем оценочную комиссию — жюри. Она же и займется присуждением наград. Давший наибольшее число наилучших решений получит первый приз. Предложение и игра единогласно приняты, — заключил Орлов, слезая со стула. — Прошу избрать секретаря.

— Лейкина! Лейкина! — раздались голоса.

Лейкин покорно подошел к «трибуне». Он давно уже свыкся с мыслью, что секретарство на всех собраниях на роду него написано.

— А я уже знаю! — звонко воскликнула одна из студенток. — Шесть равно 2+2+2!

Студенты разместились вокруг стола, вооружились блокнотами и приступили к делу. Вскоре в президиум начали поступать плоды математического творчества. Через несколько минут все записки были собраны. Первый тур закончился.

— Приступаю к оглашению! — провозгласил Орлов, после того как Лейкин вручил ему стопку записок.

— Девиз—«формула формуле рознь»:\(2\sqrt{\frac22}=2;\;\log_2(2+2)=2\). Алексеев.

— Навозну кучу разрывая, петух нашел \(\sqrt{\frac{2+2}2}=1;\;2+\frac22=3\). Котов.

— Не ищи того, что близко: \(\log_2\sqrt{2+2}=1;\;\left(\sqrt{2+2}\right)^2=4\). Николай Лейкин.

— А ларчик просто открывался: \(2-\frac22=1;\;2^2-2=2\). Маруся Комарова.

Орлов вытащил из стопки записок какой-то длинный листок, испещренный формулами. Лейкин встал со своего места и подошел к трибуне.

— Прошу слова для внеочередного заявления! — обратился он к собранию. —  Кузнецов нарушил условия: во-первых, подал работу не на стандартном листке и, во-вторых, написал сразу пятнадцать формул.

— Оглашаю собрание сочинений Кузнецова, — объявил Орлов: —

 \(\log_2\log_22=0;\;\log_2\sqrt{2^2}=1;\;\sqrt{\sqrt{\left(2+2\right)^2}}=2;\)
\(2+\log_22=3;\;2\sqrt{2^2}=4;\;2^2+2=6;\)
\(2\times2\times2=8;\;\frac{22}2=11;\;\frac{(2+2)!\ast}2=12;\)
\(2^{2^2}=16;\;22-2=20;\;(2+2)!-2=22;\)
\(22+2=24;\;(2+2)!+2=26\), 

и «Еще одно последнее сказанье, и летопись окончена моя»: 222 = 222. Кузнецов.

Оглашение каждой формулы сопровождалось аплодисментами, а последняя формула вызвала хохот. Орлов взял следующий листок.

— «Деревня, где скучал Евгений, была прелестный уголок»; \(2\times2-2=2;\;\sqrt{\sqrt{{(2\times2)}^2}}=2\). Лебедева.

— Бывают у учения и сладкие корни: \(\sqrt{\frac{2+2}2}=1;\;2+\sqrt{\frac22}=3\). Аня Бушуева.

— Не пишу я больше рифмы, а решаю логарифмы: \(\log_2\sqrt{2\times2}=1;\;\log_2(2\times2)=2\). Васька Волков, бывший поэт, ныне — математик третьего курса.

— Не плюй в таблицы логарифмов, ибо \(\log_2(2^2)=2;\;2\log_22=2\). Овсянников.

— Зри в корень: \(\frac{\sqrt{2^2}}2=1\). Голубев.

— Все гениальное — просто: \(2+2-2=2;\;{(\sqrt{2^2})}^2=4\). Жданов.

— Лучше меньше, да лучше: \(\frac{2^2}2=2\). Михайлов.

— Ум хорошо, а два — лучше: \({(\sqrt{2+2})}^2=4\). Григорьева и Сафронова.

— На брегу пустынных волн стоял он, дум великих полн: \(\sqrt{\sqrt{2^2}^2}=2\). Катя Наумова.

— «Эврика!», вскричал и я подобно Архимеду: \(\frac{2+2}2=2;\;2\sqrt{2\times2}=4\). Павел Морозов.

— Не только дважды два, но \(2\sqrt{2+2}=4\). Казанцев.

— Только что получена последняя записка, — объявил Орлов, — с девизом: «Тише едешь — дальше будешь»: \(\left(\frac22\right)^2=1;\;\frac{2\times2}2=2\). Долгоруков.

— Итак, первый тур закончен, — сказал Орлов и слез со стула.

Все снова уселись и взялись за карандаши.

— Стоп! — крикнул Орлов, возвращаясь на трибуну. — На этом мы достаточно поупражнялись. Несомненно, что тремя двойками можно написать много чисел. Поэтому президиум объявляет новый конкурс: изобразить тремя двойками максимальное число. Работы должны быть сданы не позднее, чем через десять минут. Объявляю конкурс открытым.

Орлов спрыгнул на пол. Снова посыпались записки. Когда последняя была сдана, президиум организовал выборы жюри. Рассмотрев работы, жюри приступило к их оглашению.

— Полученные решения распадаются на несколько категорий, — пробасил с табурета председатель жюри Голубев. — Большинство соискателей премии показало число 222. Такое решение вполне естественно. Оно приведено в «Занимательной алгебре» профессора Перельмана. Оказывается, однако, что 222 — вовсе не самое большое число тремя двойками: Маруся Комарова дала такой ответ: 222! Это число имеет 427 цифр. Число атомов во всех доступных телескопу звездных мирах радиусом в 200 млн. световых лет невообразимо ничтожно по сравнению с ним! Но это далеко не самое большое число, которое можно изобразить тремя двойками. Аня Бушуева прислала следующее оригинальное решение: антилогарифм 2²², иными словами, — число, логарифм которого равен 2²². А так как 2²² = 4194304, то, следовательно, в искомом числе больше четырех миллионов цифр. Оно так потрясающе велико, что мы не в состоянии представить себе, с чем его вообще можно было бы сравнить! Однако на нашем блестящем конкурсе, — продолжал Голубев, — выяснилось, что тремя двойками можно написать еще большее число — такое, по сравнению с которым предыдущее исчезающе ничтожно, невообразимо мало...

— Какое? Огласить!

— Это число равно...

Впрочем, здесь мы прервем на минуту рассказ, не желая нарушать законное право читателя самому найти это число.

— Но забавнее всего то, — продолжал Голубев, когда аплодисменты стихли, — что и это число бесконечно мало, совершенно ничтожно по сравнению с написанным нашим уважаемым Петей Морозовым...

Поднялся невообразимый шум.

— Товарищи, успокойтесь! — крикнул Голубев. — Не стоит волноваться из-за какого-то пустячного числа: Казанцев «переплюнул» его в потрясающее число раз!!

Это сообщение вызвало в аудитории целую бурю... Казанцева схватили и стали качать. Голубев спрыгнул с табурета и попытался угомонить расходившуюся молодежь, но его бас напрасно колебал молекулы воздуха. Тогда он вернулся на трибуну и поднял высоко над головой новую записку.

— Чего вы расходились? Даром только качали! Откачать назад: формула Казанцева бита! Его число тремя двойками — ерунда какая-то, лишь ничтожнейшая доля атома во вселенной по сравнению с самым сногсшибательным числом на нашем конкурсе, указанным Ниловым под девизом: «Никто не обнимет необъятного».

Аудитория была в восхищении. Она долго бушевала, проверяя формулы и шумно вычисляя умопомрачительные величины, неожиданно вынырнувшие из-за трех скромных двоек... Внезапно один из студентов, Батурин, вскочил с места и крикнул:

— Караул! Подвох!

— Что такое? В чем дело?

— Прошу слова для внеочередного заявления! — возбужденно заговорил Батурин, быстро взбираясь на стул. — Товарищи! Орлов, придумавший всю эту штуку, сам от нее уклонился. Он не участвовал ни в первом, ни во втором конкурсе. Он не написал ни одной формулы. Скажу прямо: я подозреваю, что за этим что-то кроется!

— К ответу! К ответу Орлова! — загудели все.

Батурин спрыгнул на пол и комичным жестом указал Орлову на импровизированную трибуну.

— И точно — кроется, товарищи, — виноватым тоном произнес тихо Орлов. —  Батурин прав. Верно и то, что я совершенно не участвовал в игре. Но ввиду уважительных причин я заслуживаю снисхождения, — Орлов со вздохом потупился.

— Объяснить! Чистосердечно признаться! Доложить собранию!

— Скажу, товарищи, без обиняков и совершенно откровенно: существует формула, дающая возможность написать тремя двойками какое угодно число. Эта формула мне известна. Вот почему я бездействовал в первом конкурсе. А так как с помощью этой формулы можно изобразить любое целое и положительное число от нуля до бесконечности, то, следовательно, для трех двоек не существует наибольшего числа. Таким образом, мне не пришлось участвовать и во втором конкурсе.

— Какая же это формула?! — закричали все сразу.

— Э-э... — промычал Орлов. — Да так просто сказать — неинтересно; поищите-ка ее сначала сами!

Предоставляем эту возможность и читателю.

Студенты лихорадочно схватились за карандаши... Орлов загадочно улыбнулся и отошел к окну. Снаружи слабо белели причудливые узоры сугробов. В черном бархате ясного зимнего неба величественно сверкал Орион.

---

* Восклицательный знак (факториал) означает в математике произведение натурального ряда чисел от 1 до данного числа. Например, 3!=1×2×3=6; 7!=1×2×3×4×5×6×7=5040 и т.д.