Упругие колебания

Проф. E. ЛУНЦ

Лет тридцать назад в тогдашнем Петербурге был мост через реку Фонтанку. Мост этот был цепным, т. e. поддерживался двумя огромными цепями. Назывался он Египетским. Однажды через этот мост проходил эскадрон гвардейской кавалерии. Отлично обученные лошади твердо отбивали шаг, и мост начал раскачиваться. Размахи моста делались все больше и больше. Наконец, цепи лопнули, и мост обрушился в реку вместе с находившейся на нем кавалерией.

Замечательно, что часто через этот же мост перевозили шестидюймовые орудия и зарядные ящики артиллерийских частей, расквартированных поблизости. Орудия эти весили гораздо больше, чем проходившая по мосту кавалерия, а между тем мост выдерживал их вес и разрушился при ритмичном проходе через него нескольких лошадей.

Случай этот далеко не единичный. История знает несколько разрушений мостов, особенно цепных, когда по ним проходили шагающие в ногу войсковые части. И все эти мосты отличались тем, что легко выдерживали огромную нагрузку и разрушались при нагрузке значительно меньшей, но двигавшейся с определенным ритмом. Недаром поэтому теперь при прохождении войсковой части через мост подается команда «сменить ногу».

Что же, собственно, происходило с мостом и отчего он разрушился? Наука говорит нам, что мост разрушился от возникших в нем колебаний. Естественно, для того чтобы уяснить сущность этого явления, необходимо разобрать его элементы.

Так обрушился Анжерский висячий мост, когда 16 апреля 1850 г. по нему мерным шагом проходил в ногу эскадрон солдат.

Само явление колебаний постоянно встречается в окружающих нас сооружениях, машинах, приборах, и самый простой пример его представляет маятник обыкновенных стенных часов. Маятник этот, минуя свое положение равновесия, поднимается вверх, двигаясь по некоторой кривой. Дойдя до крайнего верхнего положения, он начинает двигаться обратно к своему положению равновесия и, пройдя его, снова начинает подниматься, но уже в другую сторону. Другими словами, маятник совершает «ряд последовательных отклонений от положения равновесия».

Этими словами чрезвычайно полно определяется явление колебаний. Опыт учит нас, что такие колебания происходят во всяких инженерных сооружениях, а не только в маятниках.

Дабы уяснить себе, в чем тут дело, представим себе заделанную одним концом в стенку тонкую линейку, на свободном конце которой укреплен небольшой груз. Если пальцем отвести груз от положения равновесия и затем предоставить самому себе, то груз этот вместе с линейкой начнет двигаться, отходя от положения равновесия то вверх, то вниз, т. e. испытывать колебания. Правда, размахи такой линейки —  отклонения ее от положения равновесия — будут становиться все меньше и меньше. Через некоторое время они прекратятся, «затухнут», но во всяком случае колебания линейка испытает. Если вместо линейки вообразить себе вделанную в стену стальную прокатную балку, также несущую на конце груз, то эта балка будет испытывать колебания, вполне аналогичные колебанию линейки. Единственная разница в том, что колебания линейки будут видны простым глазом, а колебания балки могут наблюдаться только с помощью особых приборов, так как размахи конца балки будут очень малы. Прекрасный пример колебания упругого тела представляет вертикально подвешенная пружина с грузом на конце. Если потянуть груз вниз, а потом отпустить, то груз начнет совершать вертикальные перемещения, колебаться.

Отклонения линейки с грузом на конце вверх и вниз от исходного положения происходят совершенно так же, как и колебания маятника.

Почему же, собственно, груз, прикрепленный к концу пружины, стал колебаться? Причина заключается в свойствах самой пружины. В самом деле, основное свойство пружины есть стремление сохранять неизменной свою первоначальную длину. Если попробовать растянуть пружину, то, как только вы ее отпустите, она начнет сокращаться до тех пор, пока размер ее не станет прежним. Если же вы, наоборот, сожмете пружину, то, предоставленная самой себе, она начнет увеличиваться до тех пор, пока не достигнет прежней величины. Колебания именно так и происходят: груз, резко выведенный из положения равновесия, будет самой природой пружины возвращаться в положение равновесия. При этом в положение равновесия он придет не сразу, а только после того, как сделает несколько отклонений от своего положения равновесия.

Оказывается, что все тела, из которых сооружаются здания, машины и приборы, обладают свойством пружинить. Иначе говоря, им присуща упругость, только различные тела обладают различной упругостью и упругость сооружений ничтожна, по сравнению с ними упругость стали или дерева очень велика. А если это так, то стоит нам вывести из положения равновесия любое упругое сооружение, и оно станет совершать колебания, совершенно так же, как пружина. Разница будет в величине отклонений от положения равновесия, сами же явления принципиально отличаться друг от друга не будут. Если мы по тонкой доске переходим через канаву, то доска явно колеблется под нашими ногами: величина размахов колебания такова, что мы их явно ощущаем и видим. Если тот же человек переходит по мосту через Москва-реку, то мост, представляющий, по существу, огромную доску или балку, также колеблется под его ногами, как и в первом случае, но только размахи моста ничтожно малы и не ощутимы. Однако принципиальной разницы тут нет — разница только количественная. Итак, всякое упругое сооружение (а все сооружения упруги) испытывает колебания во время своей работы.

Подчиняются ли эти колебания определенным законам и известны ли нам эти законы?

Основные законы колебаний были открыты более трехсот лет назад одним из величайших ученых всех времен и народов, Галилео Галилеем.

Однажды, слушая мессу в Флорентинском кафедральном соборе, Галилей обратил внимание на качания паникадила, свисавшего из высокого купола собора, подобно гигантскому маятнику. Паникадило качалось медленно, и Галилей легко вел двойной счет— счет размахов и биений своего пульса. Месса была длинная, размахи паникадила становились все меньше и меньше, а между тем продолжительность каждого размаха оставалась неизменной. Так открыл Галилей основной закон колебания маятника: «время одного качания маятника не зависит от величины размаха» или «время размаха не зависит от величины его».

В современной физике время одного размаха называют периодом колебания, максимальную величину размаха называют амплитудой колебания, и закон Галилея формулируют так: «период колебаний маятника не зависит от амплитуды». Галилей пытался применить найденное им свойство маятника к измерению времени, но смерть помешала ему выполнить эту работу. И лишь через тридцать лет гениальный физик Гюйгенс воплотил в жизнь замечательную идею Галилея, построив часы с маятником, по существу, не отличающиеся от современных. Гюйгенс же установил, что колебания маятника определяются длиной его.

Оказалось, что колебания упругих тел в огромном большинстве случаев подчиняются тем же законам, что и колебания маятника: период их не зависит от амплитуды. Практически это означает следующее: если оттянуть конец пружины на один сантиметр и отпустить, то возникнут колебания с определенными амплитудами; если затем ту же пружину отвести от положения равновесия на 2 см, то будут колебания уже с другими, большими амплитудами. Но в обоих случаях периоды колебаний будут совершенно одинаковы. Установлено, что, подобно тому, как период колебаний маятника зависит от длины его, период колебаний упругого тела зависит от той деформации (деформацией называют изменение формы упругого тела от приложенных к нему сил; например: линейка гнется от веса укрепленного на ее конце груза), которую оно имеет в покое. Пружина, подвешенная вертикально, с грузом на конце, раньше всего удлинится под влиянием груза. Это удлинение будет деформацией, и ее называют статической, потому что она вызвана грузом, находящимся в покое. Если затем в пружине возникнут колебания, то деформация пружины все время будет меняться. Эти переменные деформации при колебаниях и будут размахами. Итак, период колебания зависит не от переменных деформаций или размахов, он зависит от деформаций статических. Колебания маятника и упругих тел, о которых мы здесь говорили, называются собственными колебаниями, ибо они определяются силами упругости самой системы, испытывающей колебания, и самой важной величиной, характеризующей их, является период.

Маятник часов совершает размахи вправо и влево от положения равновесия. Расстояние между крайним левым и крайним правым положениями маятника называется амплитудой колебания. Время, в которое маятник перемещается из одного крайнего положения в другое, называется полупериодом колебаний.

Теперь нам необходимо выяснить те обстоятельства, при которых колебания делаются опасными и приводят к разрушению сооружений или препятствуют их нормальной работе.

Свободные колебания, рассмотренные нами, в технике самостоятельно встречаются редко. Для получения их необходимо сообщить сооружению один толчок. Обычно же машины, являющиеся практически источником колебаний, работают более или менее продолжительное время. Положим, у нас на балке установлен какой-нибудь двигатель внутреннего сгорания. Каждой вспышке горючей смеси в его цилиндрах будет соответствовать толчок, вызывающий свободные колебания балки. Но очевидно, что в двигателе при его работе такие толчки будут следовать друг за другом непрерывно. Для получения свободных колебаний нужен один толчок, а тут их будет множество. Следовательно, колебания тут уже будут не свободными, а какими-то другими. Это — колебания, вызванные периодическими воздействиями. Такие воздействия дают работающие двигатели, станки, автоматическое оружие и т. п. Везде, где есть источник периодически прикладывающейся нагрузки, есть основание для возникновения таких колебаний. Колебания эти называются вынужденными, а их источник — вынуждающей или возмущающей силой. Как мы уже говорили, возмущающую силу создают моторы, двигатели, различные автоматы, движущиеся повозки, лошади, люди и т. п.

Мы помним, что колебания характеризуются двумя величинами —  периодом колебаний и величиной размахов, или амплитудой. Для колебаний собственных период не зависит от амплитуды — он зависит только от упругих свойств сооружения, испытывающего колебания. Период вынужденных колебаний зависит только от условий работы источника, вызывающего эти колебания. Если это мотор, то число его оборотов в минуту и будет определять период вынужденных колебаний; амплитуда же этих колебаний зависит от мощности источника. Таким образом, если период колебаний собственных есть величина вполне определенная, присущая данному колеблющемуся телу (балке, мосту, валу), то период колебаний вынужденных может изменяться в широких пределах в зависимости от условий работы мотора или иного источника, их вызывающего.

Представим себе стоящий на балке мотор. Балка эта имеет вполне определенный период собственных колебаний. Но при работе мотора в балке помимо собственных колебаний возникнут еще и колебания вынужденные, вызванные мотором. Период их определяется числом оборотов мотора и, следовательно, будет изменяться в широких пределах. Начнем постепенно увеличивать число оборотов мотора и наблюдать при этом за колебаниями балки. До некоторого числа оборотов, скажем, n, работа балки протекает нормально. Колебания весьма малы, глазу не видны, и слабые дрожания балки можно почувствовать, только положив на нее руку. При этом числе оборотов балка может благополучно работать неопределенно долгое время. Увеличим число оборотов мотора до величины n₁: окажется, что колебания балки чрезвычайно возрастут, станут заметны на глаз и будут сопровождаться шумом. Если при этом числе оборотов мотор поработает несколько минут, то балка будет разрушена. Снова увеличим число оборотов до величины n₂: колебания уменьшатся до нормальных размеров, снова станут незаметными; при этом числе оборотов балка будет работать нормально. У многих сооружений можно указать такие периоды вынужденных колебаний, работать при которых они не могут.

При исследовании колебаний реальных сооружений весьма часто приходится встречаться с только что описанным явлением: мотор нормально работает при каком-либо числе оборотов, при увеличении же числа оборотов мотор начинает работать неспокойно, появляются сильные дрожания. Но если вслед за этим еще более увеличить число оборотов, то мотор снова начнет работать спокойно. Это замечательное явление показывает, что быстроходная машина сама по себе еще не вызывает вредных вибраций, что, следовательно, и быстроходная машина может работать вполне спокойно.

В русском флоте времен империалистической войны были броненосные крейсеры, или, как их тогда называли, крейсеры первого ранга: «Баян», «Адмирал Макаров» и «Паллада». Максимальная скорость хода этих кораблей практически была 18 узлов. Если корабли эти шли 17-узловым ходом, они испытывали сильнейшую тряску, или, как говорили моряки, «дышали».

Вот как один из офицеров с крейсера «Баян» описывает это явление: «Надо было видеть, что делалось с мачтами, трубами, даже корпусом «Баяна». Иногда казалось, что вот-вот мачты сложатся, трубы повалятся, а корпус так и не разогнется». На всех других скоростях, в том числе и больших, «Баян» ходил вполне нормально.

Известно, что многие современные самолеты при определенных скоростях мотора испытывают сильную тряску. Зафиксировано много случаев поломок мотора и частей самолета. Во всех случаях мы имели определенную вынуждающую силу (машина парохода, мотор самолета), действующую на упругое сооружение.

Все эти случаи недопустимо больших колебаний носят название резонанса. Установлено, что резонанс наступает в том случае, когда период вынуждающей силы и вынужденных колебаний равен периоду собственных колебаний, совпадает с ним. Резонансное состояние сооружения принято называть критическим, потому что оно обычно связано с разрушением или поломками. В тех случаях, когда вынуждающая сила возникает от какой-либо машины, очевидно, что скорость машины будет определять и период вынуждающей силы. Ту скорость, при которой период вынуждающей силы становится равным периоду собственных колебаний, называют критической. В нашем примере критической скоростью крейсера «Баян» и была скорость 17 узлов. Теперь понятно, почему так важно знать период собственных колебаний сооружения. Зная его, можно выбирать условия работы вынуждающей силы так, чтобы период вынужденных колебаний отличался от периода колебаний собственных — в таком случае резонанса не будет, и сооружение не будет разрушено.

Все случаи разрушения и сильных колебаний, описанные нами, представляют собой различные случаи резонанса. Период движения конницы по мосту, т. e. время между двумя ударами ног, оказался как раз равным периоду собственных колебаний моста. Наступил резонанс, и мост был разрушен. На крейсере «Баян» период толчков от машины при скорости в 17 узлов как раз был равен периоду собственных колебаний корпуса. Крейсер на этой скорости не мог ходить. Если бы его все же заставили ходить при 17 узлах, он бы разрушился.

Теперь нам остается только отдать себе отчет, почему резонанс вызывает разрушение или, во всяком случае, сооружение работает неспокойно.

Представим себе качающийся маятник и положим, что легкими ударами молоточка мы стремимся раскачать его как можно сильнее. Спрашивается: когда надо ударять маятник? Если вы будете ударять маятник в направлении его движения тогда, когда он достигнет своего крайнего верхнего положения, то, очевидно, ваши удары с каждым разом будут увеличивать размахи маятника. Но если вы будете ударять маятник всегда в одном и том же положении, то это означает, что время между ударами как раз равно времени качания маятника, его периоду. А если время между ударами, т. e. период вашей возмущающей силы, равно периоду маятника, то мы здесь столкнемся с явлением резонанса: маятник может сорваться.

В качестве еще одного примера возьмем обыкновенные качели. Очевидно, вы только тогда сможете увеличить их размахи, если будете толкать качели всегда в одном положении. А чтобы этого достигнуть, необходимо, чтобы интервал между толчками, период их, был равен времени, в которое качели совершают одно полное качание, т. e. собственному периоду самих качелей.

Самое страшное в резонансе —  это то, что сама по себе вынуждающая сила вовсе не должна быть велика. Даже небольшая сила может вызвать разрушение при резонансе. Если же резонанса нет, то та самая вынуждающая сила, которая принесла большой вред при резонансе, никаких опасных явлений не вызовет.

Что это именно так, легко видеть на примере тех же качелей. Пусть ваша вынуждающая сила направлена по часовой стрелке, качели же движутся то по часовой стрелке, то против нее. Резонанс возникнет, если ваш толчок будет всегда приходиться на качели, двигающиеся по часовой стрелке. Каждый такой толчок будет помогать движению качелей, увеличивать их размахи. Если резонанса нет, то это значит, что часть толчков, несомненно, пришлась во время движения качелей против часовой стрелки, т. e. не совпала по ритму с собственными колебаниями качелей. А такие толчки будут тормозить движение качелей, уменьшая, а не увеличивая их размахи.

Еще один пример особенно наглядно показывает, что возникновение резонанса зависит не от величины вынуждающей силы, а от ее периода.

Для плавающих в море кораблей волны, ритмично бьющие в борт судна, представляют, конечно, вынуждающую силу. Если период этих волн близок или равен периоду собственных колебаний корабля, то наступает резонанс. Он проявляется в страшной качке корабля. Во время русско-японской войны, летом 1904 г., русские крейсеры «Громобой», «Рюрик» и «Россия» вышли в рейд в Тихий океан с заданием прервать японскую морскую торговлю. Это были огромные по тому времени корабли в 14 тыс. т водоизмещения. Каждый корабль весил почти миллион пудов. В Тихом океане они захватили английский пароход «Колхас», шедший с военными грузами в Японию. Пароход этот имел 6 тыс. т водоизмещения. Было сильное волнение, и русские моряки с удивлением заметили, что в то время, как крейсеры валяло с боку на бок с креном в 28°, сравнительно маленький пароход прекрасно держался на волне. Он накренялся на 5—6°. Одна и та же возмущающая сила — волна — гораздо сильнее раскачивала значительно более тяжелые крейсеры и мало сказывалась на сравнительно легком пароходе. Тут, конечно, все дело в том и было, что период волн был равен периоду колебаний крейсеров и отличался от периода колебаний английского парохода.

Можно ли избежать резонанса и что для этого надо делать?

Прежде всего необходимо уметь подсчитать период собственных колебаний сооружения и так подбирать вынуждающую силу, чтобы ее период никогда не был равен периоду собственных колебаний.

Лучше всего так строить корабли, самолеты, машины и здания, чтобы никакой практически возможный период вынуждающей силы не совпадал с периодом собственных колебаний. Во всяком случае, если в данной установке резонанс есть, то нужно обязательно знать соответствующую ему критическую скорость, чтобы никогда на ней не работать.