Наглядно о больших цифрах

Э. ЗЕЛИКОВИЧ

Мы недостаточно ясно представляем себе числа в десятки и сотни тысяч. При миллионе же и более высоких числовых значениях наше воображение и вовсе отказывается служить. Встречаясь в макрокосмосе — большом мире, и микрокосмосе — мире малом, с многозначными числами, мы воспринимаем их в силу привычки; оперируя ими, мы подчас не отдаем себе отчета в их грандиозности. Интересны поэтому попытки наглядного изображения отвлеченных арифметических величин, для чего, как известно, существуют различные геометрические способы и перевод одних мер в другие. Результаты применения этих приемов явятся, вероятно, для некоторых читателей неожиданными. Начнем с миллиона.

Книга в миллион страниц весила бы 50—100 пудов, а толщина ее равнялась бы 40—70 м. Прочесть такую книгу, затрачивая на каждую страницу то 4 минуты, удалось бы при нормальных рабочих условиях только в 30 лет.

Миллион секунд составляет 11,6 суток, — в году всего лишь 31,6 миллиона секунд. Чтобы сосчитать до миллиона, произнося все числа полностью, пришлось бы затратить три с половиной рабочих месяца. Миллион рядом стоящих людей образовал бы линию в 500 км, так что населением СССР можно было бы больше двух раз опоясать земной шар по экватору.

Миллиард секунд составляет 31,6 года, вследствие чего продолжительность жизни человека равна, в среднем, только двум миллиардам секунд. Миллиард же рядом стоящих людей в полтора раза превзошел бы расстояние между Землей и Луной. Любопытно, что с начала нашей эры протекло всего лишь около одного миллиарда минут (точнее—1,02×10⁹), так как миллиард минут составляет 19 веков. Таким образом, в миллиард минут укладывается с избытком история человечества со времен Древнеримской империи. Америке же, с момента ее открытия Колумбом, меньше четверти миллиарда минут. Курьезно и то, что сосчитать до миллиарда невозможно: для этого пришлось бы прожить 400—500 лет.

Остается еще коснуться вскользь биллиона (под биллионом будем подразумевать миллион миллионов — 10¹², под триллионом — миллион биллионов — 10¹⁸ и т. д. Этой системой наименований, существующей в Англии, Германии и других странах, пользуются в науке), поскольку и с ним приходится сталкиваться при изучении основных явлений мироздания. Так, например, число световых колебаний в секунду исчисляется сотнями биллионов; «световой год» — расстояние, проходимое лучом света в гад, —  равен около 9,5 биллионов километров, и т. д. Сказанное дает уже некоторое представление о величине биллиона: свет, двигающийся со скоростью миллиона километров) в 3⅓ секунды, для прохождения: биллиона километров требует уже довольно солидного срока — 1¼ месяца. Однако, обратимся опять к красноречивому языку окружающих нас предметов и понятий.

Книга в миллион страниц весила бы 50—100 пудов, а толщина ее равнялась бы 40—70 м. Прочесть такую книгу, затрачивая на каждую страницу по 4 минуты, удалось бы при нормальных рабочих условиях только в 30 лет.

Биллион рядом лежащих волос толщиной в 0,1 мм растянулся бы на 100000 км, что в 2,5 раза больше длины экватора. Строчка в биллион букв шрифта газеты «Правда» вчетверо длиннее расстояния между Землей и Луной, но биллион рядом лежащих атомных ядер занял бы всего 2 см. Биллион секунд, с вставляющий 31600 лет, примерно в два-три раза превосходит возраст известной нам человеческой культуры. Последнее число показывает, как невообразимо краток период световых волн. Примем число их колебаний равным в среднем 500 биллионам в секунду. Следовательно, длительность одного колебания во столько раз меньше секунды, во сколько раз секунда меньше 16 миллионов лет.

Миллион рядом стоящих людей образовал бы линию в 500 км, так что населением СССР можно было бы больше двух раз опоясать земной шар по экватору.

Строчка в биллион букв шрифта Газеты „Правда“ вчетверо длиннее расстояния между Землей и Луной.

Заглянем теперь в макрокосмос. Вес земного шара равен около 6000 триллионов, или, короче,— 6×10²¹ т. Это число с 21 нулем совершенно не ощущается, — мы также приняли бы его, если бы в нем было 20 или 22 нуля. Но тонной называется вес кубического метра воды. Вообразим, поэтому, массу земного шара в виде выставленных в ряд 6×10²¹ кубических метров. Пробежать этот ряд луч света успел бы только в 630 тысяч лет.

Солнце — одна из звезд огромной звездной системы. Эта система, включающая в себя созвездия, Млечный путь и отдаленные звездные скопления, называется Галактической системой, или Галактикой. Ее масса равна 165 миллиардам (165×10⁹) масс Солнца. Расшифруем это число. Примем грузоподъемность товарного поезда равной тысяче тонн. А так как в тонне 10⁶ граммов, то Солнце составляет такую же часть массы Галактики, какую один грамм груза 165 товарных поездов. Заметим при этом, что масса Солнца в треть миллиона раз больше массы Земли.

Рассмотрим теперь другое явление —  своеобразную «обманчивость» квадратных и кубических мер. Если нас поражает подчас величина миллионов и миллиардов, выраженных в линейных мерах, то в площадях и объемах может удивить обратное: огромная «емкость» этих мер по сравнению с миллионами и миллиардами. Так, например, квадратный метр состоит из миллиона квадратных миллиметров; помещенные рядом, они растянутся на целый километр. Кубический метр содержит уже миллиард кубических миллиметров, составляющих 1000 линейных километров. Факт простейший, и все же звучит это как-то странно. Поэтому несколько неожиданным является то, что кубическим метром миллиметровой проволоки (будем называть так проволоку, диаметр которой равен 1 миллиметру) можно соединить Москву с Архангельском или Ростовом, а двух кубических метров этой проволоки достаточно, чтобы протянуть ее с севера на юг через весь СССР — от Белого до Азовского меря. Десятью же кубическими метрами полумиллиметровой проволоки можно опоясать земной шар по экватору.

Достaточно двух кубических метров миллиметровой проволоки, чтобы протянуть ее от Белого до Азовского моря.

Вообразите мелкие зерна пшена диаметром в 1 мм. Чтобы заполнить кубический метр такими зернами, кладя в каждую секунду по одному зерну, требуется при нормальных рабочих условиях 125 лет. Занятие, обеспечивающее работой два с половиной поколения.

Мы видели, что с точки зрения расстояний километр во Вселенной не заслуживает никакого уважения. Но квадратный километр содержит биллион квадратных миллиметров. Выставленные в ряд, они два с половиной раза покрыли бы расстояние между Землей и Луной.

Своеобразным «обманом зрения» является степенное изображение чисел, в частности — с помощью степеней десяти. Этот способ замечательно нагляден: сразу показывая порядок числа — сколько в нем нулей, —  он сильно упрощает работу с большими числами. Рассмотрим это на примерах из области микрокосмоса.

В грамме вещества содержится, примерно, от 3×10²¹ до 3×10²³ молекул. Примем для наших расчетов среднюю величину, равную 3×10²². В этом числе 22 нуля. Вообразим себе теперь пылинку диаметром в 0,03 миллиметра. Число таких пылинок в грамме вещества должно быть порядка 40 миллионов, а молекул в одной пылинке — порядка 10¹⁵. Тысяча биллионов! Сколько же их в головке спички, журнале, который вы читаете, и в столе, за которым вы сидите, —  ведь все эти предметы в неимоверное число раз больше ничтожной пылинки. И каково их число в доме, во всем городе, Земле, Солнце?

Не искушенному в этой области может на первый взгляд показаться, что количество молекул в Земле и Солнце должно быть выражено числом 10 с невероятно большим показателем степени. Оказывается, что земная атмосфера состоит, примерно, из 10⁴¹ молекул, земной шар — 10⁵º, а средняя звезда (Солнце — это средняя звезда) —«всего» из 10⁵⁶ молекул, в то время как в одной микроскопической пылинке — 10¹⁵ молекул.

Приведем любопытный пример, подчеркивающий сказанное: чему равно выражение $4^{4^4}$? Ничего особо потрясающего на первый взгляд оно не представляет собой — всего три четверки, хотя и в степенях. Некоторые читатели, не вычисляя, могут подумать, что величина этого выражения измеряется сотнями, тысячами, быть может, — миллионами, в крайнем случае — миллиардами, биллионами, триллионами... И все же всякое число, которое вы назовете наугад, будет невообразимо ничтожно по сравнению с истинным. Попробуем вычислить приближенную величину $4^{4^4}$.

Так как $4^4=256$, то наше выражение можно преобразить в $4^{256}$. Приняв логарифм 4 равным 0,6, находим: $4^{256}={10}^{153,6}=4\times {10}^{153}$.

В мировом пространстве радиусом в полтораста миллионов световых лет открыто до сих пор около двух миллионов Галактик, подобных нашей. Если принять условно, что масса каждой из них равна массе нашей Галактики, то общее количество молекул в Галактиках окажется равным «всего» лишь 3×10⁷³: это число примерно в 10⁸⁰ раз меньше, чем 4×10¹⁵³.

Следовательно, $4^{4^4}$ во столько раз превосходит число молекул во всех открытых звездных мирах, во сколько раз это последнее больше одной четырехмиллионной доли одной молекулы.

Приведенный пример лишен, конечно, всякого практического смысла, его нужно отнести к числу математических курьезов и шуток. Вместе с тем он прекрасно иллюстрирует высказанную мысль — какой обманчивой может быть величина числа, выраженного с помощью скупых степенных обозначений. В заключение заметим, что $2^{2^2}$ равно всего 16.