В предшествующей статье «Что такое дифференциал», напечатанной в № 2—3 «Техника — молодёжи» за 1940 г., мы познакомили читателя с дифференциалом и показали, для чего он применяется на практике. Дифференциал необходим, например, для вычисления скорости неравномерно движущейся автомашины. В этом случае нужно определить весьма малый отрезок пути, проходимый автомашиной за соответствующий весьма малый промежуток времени. Вообще при дифференцировании приходится иметь дело с очень малыми величинами. Это, однако, далеко не всегда позволяет доводить задачу до конца и получать требующееся для практических целей решение.
На практике часто бывает нужно перейти от очень малых величин к большим. Это можно сделать, тем или иным путём складывая друг с другом малые величины, полученные при дифференцировании. Вообще разложение различных величин, например пути, времени и т. п., на малые элементы только тогда будет приводить к полному решению поставленных задач, если мы сумеем эти отдельные элементы вновь соединять друг с другом.
Чтобы пояснить это, рассмотрим несколько примеров.
Представим себе, что насос накачивает воду в бак. Насос работает все время равномерно; это значит, что каждую секунду в бак подаётся одинаковый объем воды. Если включить в трубопровод трехходовой кран, то можно легко измерить объем воды, подаваемый насосом в единицу времени. Для этого трехходовой кран переключается на одну секунду так, чтобы направить поток воды не в наполняемый бак, а в стоящий рядом открытый измерительный сосуд. Через секунду кран переключается вновь, и вода опять продолжает поступать в бак. В измерительный сосуд попало, таким образом, только такое количество воды, которое подавалось насосом в течение одной секунды. Таким же способом можно найти объем воды, подаваемый насосом в одну минуту или в любую иную единицу времени.
 |
Насос накачивает воду в большой бак. На
трубопроводе имеется трехходовой кран. Поворотом рукоятки крана можно поток
воды направить в измерительный бак и определить, сколько воды подаётся насосом
в единицу времени. |
Итак, определив количество попавшей в сосуд воды, можно узнать объем воды, подаваемый насосом в ту или иную единицу времени.
После описанного простого опыта нетрудно подсчитать, какой объем воды насос накачивает в бак и за любой промежуток времени. Пусть, например, необходимо определить объем воды, подаваемый в течение \(25\) секунд. Очевидно, для этого нужно объем, подаваемый в одну секунду, умножить на число секунд. Если в одну секунду подаётся объем в \(10\) литров, то за \(25\) секунд будет подано в бак \(250\) литров.
Описанный простой расчёт окажется, однако, совершенно неприемлемым, если насос работает неравномерно, если он, например, постепенно уменьшает свою подачу. Такое уменьшение подачи воды часто имеет место в действительности. Так, если вода подаётся центробежным насосом, то количество подаваемой за единицу времени воды будет тем меньше, чем больше давление воды в трубопроводе, куда подаётся вода. Если трубопровод соединён с баком, в котором уровень воды повышается, то в результате этого давление в трубопроводе будет с течением времени расти, поэтому подача воды в бак по мере заполнения его будет постепенно замедляться.
В таком случае нельзя говорить о постоянной величине объёма воды, подаваемого в единицу времени. Эта величина будет непрерывно уменьшаться. Поэтому подачу воды следует характеризовать величиной весьма малого объёма воды, подаваемого за весьма малый промежуток времени. Другими словами, скорость подачи воды можно охарактеризовать производной
\(\frac{dv}{dt}=Q\).
Понятие производной подробно объяснено в предшествующей статье, содержание которой мы рекомендуем вспомнить читателю, перед тем как продолжать дальнейшее чтение.
Написанную выше производную можно видоизменить следующим образом. Умножим правую и левую части написанного равенства на \(dt\). Сократив левую часть равенства на \(dt\), мы получим \(dv=Qdt\).
Таким образом, производную объёма воды по времени необходимо умножить на дифференциал времени \(dt\), чтобы получить бесконечно малый объем воды (дифференциал объёма воды \(dv\)), подаваемый за время, равное дифференциалу времени \(dt\).
Если мы хотим подсчитать объем воды \(V\), подаваемый за некоторое время \(t\), то необходимо сложить все весьма малые объёмы \(dv\):
\(V=dv_1+dv_2+dv_3+.....\).
Цифровые индексы \(1\), \(2\), \(3\) и т. д. поставлены около \(dv\) для того, чтобы отметать, что величины \(dv\) различны и вообще не равны друг; другу.
Если заменить \(dv_1\), \(dv_2\) и дальнейшие слагаемые произведениями \(Q\) на \(dt\), то получится:
\(V=Q_1dt+Q_2dt+Q_3dt+.....\).
Здесь значения \(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\) и т. д. означают производные объёма воды по времени в последующие весьма малые промежутки времени.
Так как отрезки времени \(dt\) весьма малы, то нужно будет сложить весьма большое число таких величин. Для того чтобы получить необходимое для практического подсчёта время \(t\).
В соответствии с этим придётся сложить очень много произведений \(Qdt\), для того чтобы получить объем воды \(v\), подаваемый за время \(t\).
Такое сложение произвести обычными способами невозможно. Необходимо найти особые приёмы, для того чтобы удобно складывать чрезвычайно большое число очень малых величин.
Прежде всего самое суммирование может быть обозначено сокращённо. Можно написать: \(V\) = сумме произведений вида \(Q\cdot dt\), или, заменив слова «сумма произведений вида» удлинённой латинской буквой \(\int\), получаем \(\int=\int Qdt\).
Эта удлинённая буква \(\int\) называется знаком интеграла. Самая величина \(\int=\int Qdt\) называется интегралом \(Q\) по \(dt\), а суммирование подобного характера называется интегрированием.
В описанном выше примере время изменяется от \(0\) при начале накачивания воды до некоторого значения \(t\) в момент окончания работы насоса. При сложении необходимо учесть это время. Обычно это делают следующим образом. Значение времени при начале суммирования, равное в данном случае нулю, отмечают внизу возле знака интеграла. Это — нижний предел интегрирования. Значение времени при конце суммирования, равное \(t\), отмечают вверху возле знака интеграла. Это — верхний предел интегрирования. В результате мы получаем следующее:
\(V=\int_0^tQdt\).
Это определенный интеграл. Он называется так потому, что указаны определенные границы времени, в пределах которых производится интегрирование (сложение) членов типа \(Qdt\).
Все описанные здесь рассуждения имеют общий, теоретический характер, и при чтении статьи читатель может испытать некоторую неудовлетворённость.
Действительно, в статье ничего не сказано конкретно о том, как же практически определять интеграл в том или ином случае. Дать исчерпывающий ответ на такой вопрос в одной небольшой статье невозможно. Вопросы интегрирования составляют содержание большого раздела математики — интегрального исчисления. Тем не менее можно привести простой пример, который наглядно показывает, как надо интегрировать во многих практических случаях.
Представим себе, что мы определяем производную объёма воды \(v\) по времени \(t\), равную, как было указано ранее, \(\frac{dv}{dt}=Q\).
Эту величину мы находим, наблюдая за объёмом воды \(v\) в баке в различные моменты времени. При помощи этих наблюдений, и вычислений мы можем построить график зависимости \(Q\) от \(t\).
Здесь по горизонтальной оси отложено время \(t\), а по вертикальной оси — величина \(Q=\frac{dv}{dt}\).
Разобьём отрезок времени \(t\) на ничтожно малые отрезки \(dt\). Построим на каждом таком отрезке прямоугольник с высотой, равной значению \(Q\) в соответствующей части графика. Так, как \(Q\) меняется в пределах малого отрезка \(dt\) незначительно, го можно этим изменением пренебречь.
Очевидно, величина \(Qdt\) есть площадь соответствующего прямоугольника. Таким образом сумма произведений вида \(Qdt\), или интеграл \(Q\) по \(dt\), в пределах от \(0\) до \(t\), есть не что иное, как сумма площадей прямоугольников, построенных на отрезках \(dt\). Нетрудно видеть, что при очень малых отрезках \(dt\) сумма площадей всех прямоугольников весьма близка к площади, ограниченной на графике кривой \(ABC\).
 |
| Скорость подачи воды \(Q\) в бак меняется в зависимости от времени \(t\). По мере наполнения бака водой скорость подачи уменьшается в соответствии с кривой \(ABC\). В пределах ничтожно малого отрезка времени \(dt\) скорость подачи \(Q\) меняется незначительно, поэтому, не делая большой ошибки, можно считать, что объем воды, поданный в бак за время \(dt\), равен площади соответствующего прямоугольника, весь же объем воды, накачанный насосом за время \(t\), равен площади, ограниченной осями координат и кривой \(ABC\). |
Определение интеграла сводится к подсчёту этой площади. Этот подсчёт, однако, сопряжён с некоторыми трудностями, так как площадь ограничена кривой \(ABC\). Для облегчения подсчёта можно рекомендовать следующий приём. Из плотной однородной бумаги вырезывают фигуру, изображённую на графике, и взвешивают её на весах. Затем из той же бумаги вырезывают квадратик с площадью, равной единице, и также взвешивают. После этого делят вес фигуры на вес квадратика и находят, сколько соответствующих квадратных единиц содержится в измеряемой площади. Это и есть значение определяемого нами интеграла.
Совершенно ясно, что описанные здесь приёмы могут быть применены и при решении самых разнообразных других задач.
Рассмотрим, например, ускоренное движение автомашины. Машина трогается с места и движется некоторое время так, что скорость её движения равномерно возрастает от \(0\) до \(20\) метров в секунду. Это происходит в течение \(30\) секунд.
Зависимость скорости от времени, как и в предыдущем случае, может быть изображена графически. По вертикальной оси откладывается скорость, а по горизонтальной — время \(t\).
 |
Автомобиль движется равноускорено. Зависимость
скорости его движения \(V\) от времени выражается изображённой на графике
наклонной прямой линией. Эта линия показывает, что скорость машины
увеличивается вместе с временем её движения \(t\). Пройдённый за время \(t\)
путь равен площади заштрихованного треугольника. |
Необходимо определить путь, который прошла автомашина за это время. Если бы движение было равномерным, то путь \(s\), пройдённый автомашиной, равнялся бы скорости движения \(v\), умноженной на соответствующее время \(t\), т. е. \(s=vt\).
Если же движение автомашины неравномерное и скорость \(v\) непрерывно изменяется, то расчёт становится существенно сложнее. Из предыдущей статьи, посвящённой дифференциалу, мы уже знаем, что при неравномерном движении скорость \(v\) есть отношение очень малого отрезка пути \(ds\) к очень малому отрезку времени \(dt\), в течение которого машина проходит этот отрезок:
\(v=\frac{ds}{dt}\).
Отсюда можно определить \(ds\):
\(ds=v\cdot dt\).
Если бы мы захотели определить путь, проходимый в течение времени \(t\), то нам нужно было бы просуммировать все участки \(ds_1\), \(ds_2\) и т. д., пройдённые за время \(t\):
\(s=ds_1+ds_2+ds_3+....\).
Каждый малый отрезок пути \(ds\) можно заменить произведением \(v\cdot dt\). Поэтому:
\(s=v_1dt+v_2dt+v_3dt+....\).
Такая сумма есть, однако, не что иное, как интеграл, и мы можем написать:
\(s\int_0^tvdt\).
Можно, следовательно, утверждать, что путь, проходимый автомашиной за время, равное \(t\), есть определенный интеграл скорости по времени в пределах от \(0\) до \(t\). Мы уже знаем, что определенный интеграл равен соответствующей площади. Эта площадь отмечена на графике вертикальной штриховкой.
Так как в данном случае скорость движения возрастает равномерно, то график получается прямолинейный. Поэтому заштрихованный участок представляет собой прямоугольный треугольник. Площадь треугольника можно очень просто определить, не прибегая к описанному выше взвешиванию. Как известно, она равна половине произведения основания треугольника на его высоту. Основанием здесь является отрезок, изображающий время \(t\), а высотой служит отрезок, изображающий скорость \(v\) в конце времени \(t\). Таким образом, площадь треугольника равна
\(\frac12vt\).
Эта площадь равна пути \(s\). Следовательно, можно написать:
\(s=\frac12vt\).
Можно написать также:
\(s=\int_0^tvdt=\frac12vt\).
В рассмотренном примере с движением автомашины время \(t=30\) секундам, а скорость \(v=20\) метрам в секунду. Поэтому путь, пройдённый автомашиной, равен:
\(\frac1220\cdot30=300\) метрам.
Таким образом, здесь оказалось возможным подсчитать значение интеграла без помощи такого вспомогательного приёма, как, например, взвешивание.
*
В описанном расчёте имеется одна особенность, которая может вызвать недоумение читателя: величина пути у нас оказалась численно равной площади треугольника на графике. Между тем известно, что путь — это величина линейная и поэтому, не сравнимая с площадью, Путь измеряется линейными единицами длины, а площадь измеряется квадратными единицами. Следовательно, путь и площадь нельзя сопоставлять друг с другом. Однако в предыдущем расчёте такое сопоставление все же сделано.
В чем же здесь дело?
Нужно иметь в виду, что рассмотренный нами график, как и вообще большинство графиков, представляет собою условное изображение тех или иных величин. Так, на нашем графике были изображены в виде линейных отрезков скорость и время. Между тем известно, что эти величины сами по себе не совпадают с понятием длины. Таким образам, график оказался построенным условно. Это значит, что он применим только при определенных условиях, которые соблюдаются для изображения скорости и времени.
Вот эта условность приводит к тому, что все свойства графика становятся условными. Одним из таких свойств является, в частности, то, что путь, пройдённый автомашиной, изображается соответствующей площадью.
Условность такого изображения нисколько не мешает практическому расчёту. Наоборот, именно благодаря ей мы можем получить очень простое решение довольно трудной задачи. Таким образом, эта условность находит себе практическое оправдание.
*
Заканчивая эту статью, хотелось бы отметить следующее. Как видно из рассмотренных примеров, дифференциал и интеграл — это такие понятия, которые встречаются обычно вместе. Дифференциал применяется в тех случаях, когда необходимо такие простые понятия, как, например, скорость, перенести в сферу сложных явлений, вроде изменяющегося во времени движения. Таким образом, дифференциал помогает анализировать математически различные явления. Но после того, как явление проанализировано, часто бывает необходимо произвести практический расчёт, чтобы узнать те или иные свойства явления в целом, например подсчитать, какое количество воды будет подано в бак за некоторое время. Чтобы от дифференциала перейти к величинам, имеющим практическое значение, нужно произвести интегрирование, представляющее своеобразный синтез отдельных малых элементов явления.
Мы находим здесь некоторое сходство между математиком и химиком. Химик, изучая различные вещества, путём химического анализа разлагает их на простейшие химические элементы. Затем при помощи химического синтеза он создаёт из этих элементов новые соединения, имеющие нередко весьма большое практическое значение. Математик путём дифференцирования анализирует различные процессы в природе и технике, а путём интегрирования синтезирует из дифференциалов новые величины, имеющие реальное, практическое значение.
Разница состоит, однако, в том, что химик обязательно прибегает к помощи различных лабораторных приборов, в то время как математик в основном ограничивается только рассуждениями, лишь изредка пользуясь вспомогательными приёмами, вроде описанного взвешивания при вычислении площади.
Комментариев нет:
Отправить комментарий