Что такое дифференциал | ТМ 1940-02/03

Проф. Г. ПОКРОВСКИЙ, рисунки А. КАТКОВСКОГО

По шоссе мчится автомобиль. Как определить его скорость? Очевидно, легче всего это сделать в случае, если машина движется равномерно, т. е. в равные промежутки времени проходит равные расстояния. Для наглядности выбирается какой-либо привычный промежуток времени, например один час, и указывается, сколько километров прошит автомобиль за один час. Эту величину считают скоростью движения машины. Тут никаких сомнений не возникает, все как будто ясно и понятно. Мы садимся в машину, едем в течение по крайней мере одного часа и определяем скорость движения.

Теперь представим себе, что машина спустя несколько минут после начала движения внезапно остановилась. Как сейчас определить скорость, с которой она двигалась? Наше первоначальное представление о скорости при всей его наглядности и простоте в этом более сложном случае движения окажется уже непригодным. Почему? Да по той простой причине, что движение автомобиля продолжалось менее одного часа.

Как же быть? Здесь уже необходимо при помощи простого и привычного представления о скорости перейти к более сложному. Мы начинаем рассуждать: какой путь прошла бы автомашина в течение одного часа? Практический опыт и основанная на нем логика подсказывают нам следующее: если за один час пройдено расстояние, равное \(v\), то за два часа будет пройдено вдвое большее расстояние, т. е. \(2v\), а за \(t\) часов автомобиль пройдёт путь \(S\), равный \(tv\). Эту зависимость мы можем выразить такой формулой: \(S=vt\). Отсюда вытекает, что скорость \(v\) равняется пути \(S\), делённому на время \(t\), т. е. \(v=\frac St\).

Так, разделив пройдённое автомобилем расстояние на протёкшее время, мы узнаем скорость движения. Исходя из частного и наиболее простого случая, нам удалось прийти к общему положению и установить зависимость между скоростью (\(v\)), временем (\(t\)) и пройдённым расстоянием (\(S\)) при равномерном движении.

*

Из самого понятия равномерного движения вытекает, что скорость его все время постоянна, а раз так, то изменение пути целиком зависит от изменения времени. Отсюда делаем вывод: чем больше времени движется машина, тем больший путь она проходит; и наоборот, чем больший путь проходит машина, тем больше времени она находится в движении.

Таким образом, применив простейшие, первоначальные представления к изучению более сложных представлений, мы создали какое-то сложное понятие о равномерном движении вообще.

*

Однако и второй из рассмотренных нами примеров не исчерпывает всей задачи. Обычно, на практике, заметив препятствие, которое нельзя объехать, водитель начинает тормозить автомашину. С этого момента скорость её непрерывно уменьшается. Тем самым нарушается основное и обязательное условие равномерного движения — постоянная скорость. Выведенное нами правило к данному случаю явно непригодно, и рассчитать скорость машины при торможении, пользуясь им, просто невозможно. В самом деле, о какой скорости можно сейчас говорить: в начале торможения, где-нибудь в середине его или же в конце? Ведь здесь нет такого участка пути, на котором скорость хотя, бы в течение небольшого промежутка времени была постоянна.

Если автомашина за один час проходит путь, равный 60 километрам, то можно сказать, что средняя скорость её равна 60 километрам в час. Однако эта средняя скорость не соответствует действительным скоростям движения, которые на разных участках пути изменяются, как видно из графика, от нуля до 88 километров в час. Таким образом, средняя скорость за единицу времени и действительная скорость могут быть совершенно различными.

Чтобы выйти из этого затруднения, нам снова следует обратиться к логике. Можно рассуждать так: действительно, при торможении скорость автомашины непрерывно уменьшается. Именно это обстоятельство препятствует нам определить величину скорости. Но нужно ли вообще её определять с очень большой точностью? Известно, что все наши приспособления, служащие для измерения длины пути \(S\) и времени движения \(t\), не являются абсолютно точными. Значит, даже в случае идеально равномерного движения исходные величины для расчёта скорости окажутся неточными. Поэтому и самая величина скорости будет вычислена с более или менее значительным отступлением от действительности.

Впрочем, это и не страшно, потому что для практических целей стремление к абсолютной точности не имеет никакого смысла. Больше того, в ряде случаев она бывает даже вредна, так как усложняет измерения и расчёты. Нет смысла, например, в булочной отвешивать хлеб на аналитических весах с точностью до 1 миллиграмма: это только задерживало бы покупателей. Покупателю выгоднее, если будет допущена ошибка в весе даже на сотни миллиграммов, чем ждать, пока продавец чрезвычайно точно взвесит отпускаемый им хлеб.

Однако такие же соображения играют роль не только в быту, но и в технике. Например, нет никакого смысла изготовлять кирпич с такой же точностью, как логарифмическую линейку, а логарифмическую линейку — с такой же точностью, как астрономические инструменты или мощные микроскопы.

Даже в науке при различных опытах и измерениях требуется различная степень точности. Более того, неоднократно высказывалась мысль, что инструменты, которыми пользовался при астрономических наблюдениях великий астроном XV в. Коперник, принесли ему значительную пользу именно благодаря своей... неточности. Ввиду грубых результатов своих измерений Коперник смог решить вопросы теории движения планет только приближённо, в наиболее простой форме, не касаясь сложных явлений этого движения. Обладая же точными приборами, Коперник обнаружил бы сложные явления движения, но при тогдашнем состоянии науки не сумел бы их объяснить. Это могло бы подорвать доверие ко всей созданной им в основном верной системе мира, сыгравшей большую прогрессивную роль. Зато впоследствии, при дальнейшем развитии науки и техники, открытие и объяснение этих сложных явлений уже не представили больших трудностей.

Таким образом, следует учитывать в каждом отдельном случае, какая степень точности необходима и возможна.

Возвращаясь к нашей автомашине, можно утверждать следующее: скорость движения автомобиля нельзя измерить абсолютно точно; скорость движения автомобиля и не нужно измерять абсолютно точно.

Поэтому, если нет равномерного движения, это не беда. Попробуем найти приблизительно равномерное движение, что вполне возможно.

Пусть за время торможения автомобиль прошёл какое-то расстояние \(S\). Разобьём это расстояние на 10 равных участков. Скорость машины падала непрерывно. Если возьмём два каких угодно соседних участка, то разница в скорости между ними будет менее значительна, чем между скоростью в начале торможения и в конце его. Но можно разбить путь \(S\) и на 20, и на 40, и на сколько угодно участков. Чем меньше они будут, тем ничтожнее окажется разница в скорости между двумя соседними участками.

Если мы условимся, что на одном таком ничтожно малом отрезке пути скорость движения автомобиля постоянна, то совершим небольшую ошибку. А раз мы считаем скорость постоянной, то можем применить для её определения законы равномерного движения тел.

Таким образом, сложный процесс движения автомобиля при торможении мы рассматриваем как бы разобщённо, дифференцированно: разбиваем его на сумму отдельных частных явлений.

За ничтожно малый путь \(dS\) и ничтожно малое время \(dt\) скорость меняется мало (на величину \(dv\)). Поэтому на участке \(dS\) можно считать, допуская очень маленькую ошибку, скорость постоянной и, следовательно, движение равномерным.

Можно привести для наглядности числовой пример. При торможении в течение 1 минуты автомобиль прошёл, скажем, 1 тыс. метров. На этом расстоянии скорость его уменьшилась до нуля. Но на расстоянии в 100 метров потеря в скорости была не так значительна. Ещё менее заметно упала скорость на протяжении 10 метров, ещё меньше — на расстоянии 1 метра пути и т. д. Считая, что на участке в 10 метров скорость была постоянна, мы допустим небольшую ошибку. Ещё меньше будет ошибка, если мы примем скорость постоянной на участке в 1 метр. А ведь есть ещё сантиметры. миллиметры и т. д.

Однако здесь возникает вопрос, какие именно отрезки пути нужно брать, чтобы обеспечить если и не абсолютную, то все же достаточную точность? Очевидно, такие, которые были бы не больше величины допускаемой нами сшибки.

Предположим, что для нашего расчёта достаточно определить скорость автомобиля в какой-либо момент с относительной точностью до 1%. Это значит, что допускаемая нами сшибка не должна превышать ¹/₁₀₀ истинной скорости.

Поступаем следующим образом. Весь путь, пройдённый автомобилем за время торможения, равен 1 тыс. метров. Следовательно, при заданной нами степени точности необходимо выбрать такой отрезок пути, длина которого была бы не больше 10 метров. Но, чем меньше будет этот отрезок, тем точнее получится результат; и наоборот, чем точнее требуется результат, тем меньше должен быть выбираемый нами отрезок пути.

Так поступили мы в частном, конкретном случае, когда необходимая степень точности была нам заранее известна. Тут мы действовали подобно тому рабочему, который проверяет размеры совершенно определенных и одинаковых деталей по одному заранее выработанному образцу — эталону.

А теперь воспользуемся другим инструментом, таким, который позволяет измерять детали любых размеров и любой формы. Теперь установим общий метод, который можно было бы применить к любому конкретному случаю и любой степени точности.

Чтобы наш метод был универсален, т. е. удовлетворял различным случаям, условимся, что выбираемая нами величина (скажем, отрезок пути) может стать меньше какой угодно малой наперёд заданной величины, т. е. может уменьшаться без всякого ограничения, бесконечно. Теоретически это вполне возможно. Путь, пройдённый автомобилем, можно разбить мысленно на сколько угодно частей: на сто, тысячу и т. д. Можно даже вообразить такой непрерывный процесс, при котором каждый вновь получаемый в результате деления отрезок пути тотчас сокращается вдвое. И этот процесс можно представить себе бесконечным. Это значит, что каждый раз будет получаться все меньший и меньший отрезок пути, без какой-либо границы для дальнейшего уменьшения. Однако этот отрезок не исчезнет вовсе. Величина его чем дальше, тем меньше будет разниться от нуля, но не превратится в нуль. В данном случае нуль представляет тот предел, к которому эта непрерывно уменьшающаяся величина стремится, но которого никогда не достигает.

Такие переменные величины, которые могут уменьшаться бесконечно, называются бесконечно малыми. Их обозначают в математике с приставкой \(d\), в нашем случае бесконечно малый отрезок пути обозначается \(dS\); при этом \(d\) не есть какая-то величина, на которую множится \(S\), это только условный, символический знак, который показывает, что речь идёт о бесконечно малой величине. Такая величина \(dS\) и есть дифференциал пути.

Поскольку во время торможения скорость автомашины изменяется не скачками, а непрерывно, плавно, то очевидно, что бесконечно малому отрезку пути (или дифференциалу пути) \(dS\) соответствует бесконечно малый промежуток времени (или дифференциал времени) \(dt\). Следовательно, скорость движения автомобиля при торможении будет уже выражаться формулой: \(v=\frac{dS}{dt}\).

Такое отношение бесконечно малого и непрерывно уменьшающегося отрезка пути к бесконечно малому и непрерывно убывающему промежутку времени называется производной пути по времени. Эта производная и есть не что иное, как скорость автомашины в каждый данный момент времени.

Как же вычислить это отношение двух бесконечно малых величин дифференциала пути к дифференциалу времени? Ответ на этот вопрос даёт обширный раздел высшей математики — дифференциальное исчисление.

Так понятия дифференциала и производной позволили нам сложный случай неравномерного движения свести к простому случаю равномерного движения при небольших, практически допустимых ошибках. Здесь, пользуясь, так сказать, малыми средствами, нам удалось достигнуть больших результатов. В этом — величие и практическая мощь дифференциального исчисления.

*

Может показаться, что сделанный нами сейчас, вывод слишком смел. В самом деле, можно ли на основании какого-то случайного примера с движущейся автомашиной делать широкие обобщения и утверждать, что мы получили нечто очень ценное для теории и практики?

Чтобы дать ответ на этот вопрос, рассмотрим какой-либо другой случайно взятый пример. Пусть имеется большая цистерна и необходимо определить величину давления нефти на боковые стенки этого резервуара.

Сначала решим более простую задачу: уясним, что представляет собой давление нефти на дно цистерны. Поступим следующим образом: выделим на дне цистерны некоторый участок; установим на этом участке какой-либо прибор, измеряющий общую силу давления жидкости. Если произвести такое измерение, то можно заметить, что величина давления зависит от размеров площади, на которую она приходится.

Чем больше площадка, воспринимающая давление, тем больше и величина давления жидкости.

Видимо, для решения нашей задачи нужно выбрать какую-то определенную площадь. Чтобы получить возможно более простое решение, возьмём площадку размером в 1 кв. сантиметр. Давление в килограммах на площадь в 1 кв. сантиметр и будет ответом на интересующий нас вопрос.

Однако не всегда можно выделить площадку такого размера. Чаще приходится иметь дело с какой-то неопределённой площадью \(Q\), воспринимающей силу \(F\). Чтобы и в этом случае избавиться от неопределённости, постараемся вычислить, какая сила действовала бы на площадку размером в 1 кв. сантиметр. Эта сила, очевидно, будет равна общему давлению нефти, делённому на площадь дна цистерны, т. е. \(p=\frac FQ\), где \(p\) — давление в килограммах на квадратный сантиметр, \(F\) — вес или общее давление нефти в килограммах и \(Q\) — площадь дна цистерны в квадратных сантиметрах.

Однако эта формула применима в тех случаях, когда давление распределяется равномерно по всей площади, на которую оно приходится.

Но попробуем теперь вычислить давление нефти на боковые стенки цистерны. Опыт подсказывает, что они испытывают давление неравномерное. Величина его в любой точке стенки зависит от высоты слоя жидкости над этой точкой. Следовательно, те участки стенки, которые расположены ниже, испытывают большее давление, чем верхние участки. Ясно, что в этом случае выведенная нами формула неприменима.

Если в баке имеется жидкость, то её давление на боковую стенку возрастает с увеличением глубины. Чем больше глубина, тем больше и давление.

Однако из этого затруднения можно выйти точно так же, как и в случае с автомобилем. Выберем на боковой стенке достаточно малую площадь \(dQ\) и будем считать, что давление на ней распределяется равномерно. Тем самым мы допустим небольшую ошибку. И она будет тем незначительнее, чем меньше \(dQ\). Для приближенного вычисления такого рода ошибки, как мы видели, значения не имеют.

Таким образом мы создали условия, при которых можно применить уже известную нам формулу равномерного движения.

Очевидно, выбранная нами очень малая площадь \(dQ\) будет испытывать и очень малое давление \(dF\). И в результате мы получим следующее решение: \(p=\frac{dF}{dQ}\).

Здесь \(dF\) представляет собой дифференциал давления, а \(dQ\) — дифференциал площади. Отношение этих двух величин при условии, что каждая из них может стать меньше какой угодно заранее выбранной величины, т. е. стремится к нулю, называется производной силы по площади.

Следовательно, общее определение давления жидкости на стенки цистерны таково: давление есть производная силы по площади.

Мы исследовали два сложных явления, совершенно различных по своей физической сущности: скорость и давление. Несмотря на их различие, мы действовали в обоих случаях одним и тем же способом. Этот способ — дифференцирование. Он заключается в том, что, пользуясь простейшей частной зависимостью между некоторыми явлениями (например скорость, время и путь при равномерном движении), мы находим более сложную, общую зависимость между ними — производную.

Метод дифференцирования и нахождения производной отличается необычайной гибкостью и общностью.

Вот почему он находит громадное теоретическое и практическое применение в науке и технике при исследовании самых разнообразных явлений природы.