Э. ЗЕЛИКОВИЧ
Это устрашающее на вид число обладает замечательным свойством — три различных действия над ним приводят к одному результату:
1) при делении на девять оно даёт в остатке семь;
2) «конечная» сумма его цифр (сумма цифр от суммы цифр и т. д. до получения однозначного числа) равна тоже семи;
3) вычёркивание из него девяток и цифр, сумма которых равна девяти, приводит к тому же: не зачёркнутой, как это ни странно, остаётся опять-таки цифра «семь». Правда, при различных способах зачёркивания могут оставаться и другие цифры, однако сумма их неизменно будет равняться семи.
В чем же дело? Является ли помещённое в заглавии число каким-либо особенным? Или же загадочная цифра «семь», упорно получающаяся в результате различных действий, обладает какими-то исключительными свойствами?
Ни то, ни другое. Заглавное число выбрано наугад, цифра же «семь» — необязательна. Читатель может взять какое угодно число с любым количеством знаков, и в результате тех же трёх действий будет получаться какая-то одна и та же цифра.
Следовательно, чтобы узнать остаток от деления любого числа на девять, вовсе не нужно производить деление. Достаточно найти конечную сумму цифр или же просто вычеркнуть из числа все девятки и цифры, сумма которых равна девяти.
Нетрудно понять, чем это объясняется. Нужно только вспомнить признак делимости чисел на девять. А он, как известно, заключается в следующем: если сумма цифр какого-нибудь числа делится на девять, то и само число разделится на девять. Но и сумма цифр от этой суммы должна быть, в свою очередь, также кратна девяти и т. д. Наконец мы придём к одной цифре. Чему же она равна? Несомненно — девяти, потому что никакое другое однозначное число на девять не делится.
*
Возьмём теперь число, которое даст при делении на девять какой-нибудь остаток. Очевидно, этот остаток должен содержаться и в сумме цифр нашего числа, поскольку мы складываем его вместе со всеми цифрами числа; отсюда же остаток перейдёт в сумму цифр от этой суммы и т. д. В итоге получится девять плюс тот же остаток, например, девять плюс семь. Ясно, что конечная сумма должна равняться именно этому остатку — семи.
Нетрудно видеть, что и способ вычёркивания должен привести к тому же результату. В самом деле, вычёркивая из числа все девятки и цифры, сумма которых равна девяти, мы тем самым откидываем те части числа, которые делятся на девять. Что же остаётся?
Если число кратно девяти, то ничего не останется, — все цифры окажутся зачёркнутыми.
Наоборот, при числе, не кратном девяти, должна оставаться одна или несколько цифр. Ясно, что одна цифра и есть остаток от деления числа на девять, поскольку все то, что кратно девяти, мы вычеркнули из числа.
Но как быть, если не вычеркнутыми осталось несколько цифр, например, три, четыре и семь? В этом случае следует отыскать их конечную сумму, которая, как уже показано, должна равняться искомому остатку.
Комментариев нет:
Отправить комментарий