Что такое четвертое измерение? | ТМ 1938-11

З. ЭМИ, Рисунки Л. СМЕХОВА

В одном из фантастических романов Уэллса герой романа, мистер Барнстейпл, отправляется в машине на прогулку. За городом его обгоняют большой серый автомобиль и лимузин. Оба тотчас же скрываются за поворотом дороги. Быстро достигнув поворота, Барнстейпл обнаруживает изумительный факт: дорога пуста — не видно ни серого автомобиля, ни лимузина. Как сквозь землю провалились!

Внезапно, наскочив на что-то невидимое, машина Барнстейпла круто сворачивает в сторону. Барнстейпл, естественно, останавливает ее и, не заметив препятствия, тотчас же продолжает путь. Однако через мгновенье он делает новое, глубоко поразившее его открытие: перед ним совсем не та дорога, по которой он ехал полминуты назад. Видневшийся вдали Виндзорский замок исчез, зато неожиданно появился впереди лимузин. Машина стояла. Барнстейпл подъехал к ней и заговорил с ее пассажирами.

Два автомобиля попали каким-то непонятным образом в иной — и притом прекрасный — мир. Собеседники теряются в поисках объяснения происшедшего. Высказываются предположения, что это — мир «иных, нам неведомых пространственных измерений», который соприкасается с нашим. Впоследствии путники узнают от жителей иного мира, что «возможно неограниченное число измерений», однако «все происходящее имеет место лишь в пространстве трех прямолинейных измерений». Далее говорится о бесконечном числе трехмерных миров, параллельных друг другу и друг с другом сходных. В каждом из них имеются звезды и солнца, окруженные планетами, на которых есть жизнь.

Вот фантастическое введение романа «Люди, как боги». Но Уэллс — фантаст научный. Каково же научное обоснование введения и как понимать высказанные в нем идеи об измерениях?

С прискорбием д-р Арк-Синус обнаружил, что даже величайшее путешествие, совершенное им некогда в межзвездные миры, не выходит за пределы трех измерений... Пытливый доктор понял, что ему предстоят необычайные экскурсии в новую область.

Приступим к рассмотрению этого вопроса с самых основ. Поэтому выясним сначала, что такое «измерение» в геометрическом смысле слова.

Первое, с чем мы сталкиваемся в геометрии, — это точка. Геометрическая точка не имеет ни длины, ни ширины, ни высоты. Мерить точку нельзя.

За точкой следует прямая линия. Ее можно мерить, и притом только в одном направлении — в длину. Поэтому всякая линия «одномерна».

Но удовлетворило ли бы нас измерение какой-нибудь фигуры, например прямоугольника, тоже только в одном направлении? Нет. Чтобы получить полное представление о нем, прямоугольник надо, как известно, измерить в двух направлениях — в длину и в ширину. А чтобы узнать площадь прямоугольника, нужно результаты этих измерений перемножить. Произведение будет представлять собой число уже не линейных, а квадратных сантиметров, содержащихся в нашем прямоугольнике.

Допустим, у нас есть бесконечно протяженная плоскость. Из нее можно кроить какие угодно плоские фигуры, но сможем ли мы сделать из нее хотя бы маленькое тело?

Не сможем, потому что тело существенно отличается от плоскости, — так же, как фигура от линии. Поэтому, чтобы получить представление о теле, измерить его только в двух направлениях недостаточно. Так, например, чтобы узнать объем параллелепипеда, нужно выполнить помимо измерения длины и ширины еще и третье измерение — измерение высоты его.

Сразу же доктор глубокомысленных наук столкнулся с тем, что, рассуждая отвлеченно-математически, можно представить себе бесчисленное количество миров любого числа измерений. Это открытие лишило доктора как душевного, так и физического равновесия.

*

Вообразим бесконечно длинную линию. Такую линию можно рассматривать как целый мир, своеобразный мир, не имеющий «ни конца, ни края». Мир этот — одномерен. Населим его мысленно живыми существами, конечно, тоже одномерными. Такие «одномерны» будут не чем иным, как линейными отрезками, маленькими частями линии. Они смогут двигаться в своем мире только вдоль него. Поворачиваться, уходить в стороны, подниматься или опускаться, т. е. выходить из своего мира, они не смогут. А так как линия одномерцев бесконечно длинна, то все жители этого мира были бы убеждены, что их мир занимает всю вселенную. Следовательно, никакого другого мира быть не может — ему просто негде быть.

Мы же знаем, что рядом с одной бесконечно длинной линией может быть другая такая же линия. Рядом с ней — третья, и так без конца. Но что значит рядом? Рядом — это уже в ширину, в направлении второго измерения. А так как второго измерения для одномерцев не существует, то они и не были бы в состоянии сообщаться с иным, расположенным рядом с ними миром. Обитатели двух или многих таких миров, хотя и бесконечно близких друг к другу, никогда ничего не узнали бы друг о друге.

Вообразим теперь бесконечно протяженную плоскость. Это уже мир «двухмерный». Жители такого мира, «двухмерны», — бесконечно тонкие фигуры. Они могут свободно и, как угодно, далеко двигаться во все стороны своей плоскости, но не в состоянии ни подниматься, ни опускаться: высоты в их мире не существует. Что же представляют собой двухмерные здания, шкафы и т. п.? Это — прямоугольники. Физические линии, из которых они построены, могут иметь различную длину и ширину, но высота этих линий бесконечно мала. Двухмерец, окруженный подобной замкнутой линией, окажется в заключении: в какую сторону он ни пойдет, он всюду натолкнется на «стену». Подлезать под стены или перелезать через них он не может, — это движения вниз и вверх, т. е. в направлении третьего измерения, которого в двухмерном мире не существует.

Ужасная катастрофа в библиотеке превратила д-ра Арк-Синуса в двухмерное существо...

Наши воображаемые двухмерцы были бы убеждены, что их плоскость, поскольку она бесконечно протяженна, занимает весь мир, и, следовательно, иных миров быть не может. Нам же с вами известно, что над одной бесконечно большой плоскостью может находиться другая такая же плоскость, над ней — третья и т. д. Однако двухмерные жители различных миров не в состоянии были бы сообщаться и никогда ничего не узнали бы о существовании друг друга.

Двухмерцы, чтобы взглянуть назад, должны стать на голову; чтобы разминуться при встрече, один двухмерец должен перелезть через другого. Доктор Арк-Синус, которого уже зачислили штатный профессором двухмерного университета, читает в математическом научном обществе лекцию о третьем измерении. Для иллюстрации лекции он только что повернулся в третьем измерении лицом к другой части аудитории. Однако это вызвало у двухмерцев лишь некоторое сомнение в научной добросовестности доктора.

Относительно воображаемых двухмерцев мы — существа высшего порядка, потому что наш мир и мы сами — «трехмерные». Мы смогли бы продемонстрировать двухмерцам фокусы, которые навсегда остались бы для них неразгаданным чудом. В самом деле: вообразим двухмерца, сидящего в «наглухо» запертой, с его точки зрения, комнате с очень «толстыми» стенами. Шкафы и ящики заперты на замок. Но вот вы перешагнули через двухмерную стену и ступили одной ногой в комнату. Двухмерец видит частично очертание вашей ступни. Он изумлен и насмерть перепуган. Как вы проникли сквозь стены и запертые двери? «Кто это?» — «Трехмерец», — называете вы себя.

Вы вступаете второй ногой в комнату. Двухмерец видит в своем «пространстве» второй предмет, не соединенный с первым. «А это кто?» — кричит он в ужасе. «Да я же!» — отвечаете вы. Вы опускаетесь на колени, касаетесь плоскости ладонями рук. В «пространстве» появляются новые предметы. И это — все тот же таинственный «Я». Быстро меняя величину и форму, предметы начинают исчезать. Исчезновение происходит таким же непостижимым образом, прямо «в воздухе», как и появление.

Глядя на все сверху, вы рассказываете двухмерцу, что происходит в соседних «наглухо» запертых домах и комнатах, и подробно описываете все находящееся в шкафах и ящиках, не пропуская ни одной мелочи. После этого вы переходите к карманам потрясенного двухмерца, сосчитывая в них деньги с точностью до копейки. Более того: вы рассказываете двухмерцу о работе его внутренних органов. Наконец, вы достаете сверху (для двухмерца совершенно невероятным образом) любую вещь из шкафов, карманов и... даже пилюлю из желудка двухмерца, недавно им проглоченную. В заключение вы начинаете поднимать предметы над плоскостью, вследствие чего они мгновенно исчезают из двухмерного мира. С ужасом наблюдает двухмерец за тем, как все его имущество превращается в ничто и комната остается совершенно пустой. После этого вы, «высшее существо», возвращаете отчаявшемуся обитателю двухмерной комнаты все его добро в полной сохранности.

Двухмерные математики, возмущенные проделкой доктора, так сжали его с обеих сторон, что он раздался в третьем измерении, приняв свой прежний вид, и исчез в несуществующем для двухмерного мира третьем, перпендикулярном направлении.

*

Усложняя постепенно геометрические образы, мы дошли до тел и установили, что они имеют три измерения, лежащие в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Эти направления образуют пространство, наш трехмерный мир. Теперь возникает естественно вопрос о четвертом направлении — направлении, которое было бы перпендикулярно к каждому из трех предыдущих, т. е. к пространству. Это четвертое направление и есть так называемое «четвертое измерение».

Четвертое измерение должно находиться также вне трехмерного мира, как третье (высота) находится вне двухмерного. Это значит, что четвертое направление — внепространственное, вследствие чего представить его себе реально, физически, мы не в состоянии. Да и не существует его в таком смысле. Однако можно рассуждать о нем отвлеченно-математически. Постараемся же построить мысленно четырехмерный мир из трехмерного, так же как мы построили из двухмерного трехмерный. Посмотрим, к каким любопытным результатам это приведет.

Люди, животные, здания, шкафы и т. д. — это замкнутые со всех сторон тела, однако только в трех измерениях. В четвертом же они должны быть так же открыты, как здания, шкафы, организмы и т. п. двухмерцев открыты в третьем измерении. Поэтому «четырехмерец»— воображаемый человек четырехмерного мира — смог бы проделывать в нашем мире те же трюки, что мы в двухмерном: проникать в дома, минуя двери и окна; описывать содержимое наших карманов и закрытых шкафов, а также внутренние органы наших организмов и все процессы в них. Четырехмерец видел бы одновременно все клетки, все молекулы наших тел. Так мы, глядя сверху, видели сразу все клетки плоских, двухмерных существ.

Перед вами лежит на столе журнал. Внезапно он исчезает, не сдвинувшись с места. Через минуту он снова появляется, но в каком странном виде! Все «шиворот-навыворот». Картинка на обложке, надписи и весь текст представляют собой зеркальные изображения того, что было прежде. Один за другим бесшумно исчезают различные предметы. Затем они снова появляются, возникая непосредственно из пространства, но на других местах и в виде, зеркально-симметричном предыдущему...

А этот трюк как же четырехмерец проделал? Чтобы понять его, прибегнем еще раз к сопоставлению двухмерного мира с трехмерным.

Наши руки одинаковы, однако правая перчатка не может быть надета на левую руку, и наоборот. Вырежем из бумаги силуэты рук и положим эти «двухмерные руки» перед собой. Хотя они и одинаковы, но симметрично противоположны: так, например, мизинец правой руки находится на правой стороне, а мизинец левой — на левой и т. д. Совместить эти силуэты наложением их друг на друга невозможно, как бы мы ни поворачивали их. Но стоит только перевернуть один из них, как обе фигуры уже легко будет совместить. Как же мы это сделали? Мы превратили силуэт правой руки в силуэт левой (или наоборот: левой в правой). Для этого мы сняли один из силуэтов с плоскости, перевернули его, т. е. вывели из двухмерного мира, перенесли в мир трех измерений и снова вернули на плоскость.

Проделать то же с самими руками мы не можем, так как руки — симметрично противоположные уже не плоскости, а тела. Чтобы превратить правую руку в левую, необходимо вывести ее из пространства и «перевернуть» «на левую сторону» в четвертом измерении. Если бы четырехмерец проделал нечто подобное с человеком, то правая рука, нога, глаз, ухо и вообще каждая правая частица тела человека сделалась бы левой, и наоборот. Произошло бы все это геометрически, без малейшего расстройства организма.

Не успел доктор записать свои размышления о двухмерном мире, как произошла новая катастрофа: комната внезапно вздрогнула, и доктор потерял на мгновение сознание. Когда он очнулся, комната и все предметы в ней оказались зеркальносимметричными самим себе. В организме доктора все клетки перешли на симметрично противоположные стороны. Наш ученый муж молниеносно сообразил, что по неизвестным причинам вся комната повернулась на 180° в четвертом измерении.

И на эту тему есть у Уэллса фантастическая повесть. Называется она «Девять дней в четвертом измерении». Герой повести, перевернувшись случайно в четвертом измерении, появляется в виде, зеркально-симметричном самому себе.

Окружность двухмерец видит только сбоку в виде выпуклой линии. Чтобы осмотреть всю окружность, он должен был бы обойти ее. Плоскость круга, т. е. вид круга сверху, непостижим для двухмерна. Точно так же мы, трехмерцы, видим шары, например луну или солнце, не целиком, а лишь в виде дисков. Чтобы осмотреть весь шар, мы должны обойти его со всех сторон в трех измерениях. Четырехмерец же воспринимал бы, во-первых, всю поверхность шара одновременно, и, во-вторых, он видел бы не диск, а самое тело шара, каждую его молекулу так, как мы воспринимаем каждую молекулу недоступного для двухмерца круга.

Вообразим теперь резиновый обруч, обшитый с внешней стороны кожей. Резины двухмерен не видел бы. Чтобы кожа оказалась внутри, а резина — снаружи, двухмерцу пришлось бы разрезать обруч и вытянуть его; затем согнуть, но в другом направлении, и снова сшить. Мы же с вами могли бы проделать то же самое проще — не разрезая обруча. Для этого было бы достаточно просто вывернуть его.

В резиновом шаре, обшитом кожей, резины мы не видим. Чтобы она оказалась снаружи, нам пришлось бы разрезать шар на две части, вывернуть каждую из них и снова сшить. Но тогда мы не увидели бы кожи. Четырехмерец же видел бы и то и другое одновременно, и ему ничего не стоило бы вывернуть наизнанку туго надутый воздухом футбольный мяч, не разрезая его и не выпуская из него воздуха. Более того: он смог бы неуловимым для нас образам вынуть из запертой шкатулки часы и «вложить» их внутрь футбольного мяча.

Если расположить вплотную рядом, т. е. в направлении второго измерения, большое число бесконечно тонких линий, то образуется плоскость. Таким же образом, наложив друг на друга, т, е. в направлении третьего измерения, большое число бесконечно тонких плоскостей, мы получим тело. В самом деле: сотни листав тончайшей бумаги, сложенные стопкой, образуют параллелепипед. Отсюда заключаем, что бесконечное число одномерных миров составит один двухмерный, а двухмерных — один трехмерный. Иными словами, из линий составляется плоскость, а из плоскостей — пространство. Ну, а дальше?

Рассуждая таким же образом дальше, мы можем рассматривать четырехмерный мир, как состоящий из бесчисленного множества бесконечно больших трехмерных миров — таких, как наш. Все они должны быть расположены где-то «рядом», вплотную друг к другу, но рядом не в трех измерениях (спереди, сбоку или сверху), а где-то по линии четвертого. Конечно, рассуждение это только отвлеченно-математическое, реально же, физически, такого четырехмерного мира не существует.

Представим себе теперь две сложенные бесконечно протяженные плоскости, скажем — два бесконечно больших листа бумаги. Пусть каждый из этих двухмерных миров будет наполнен двухмерными звездами и планетами, на которых живут двухмерные существа. Представители одного мира не будут иметь ни малейшего представления о другом мире и его жителях. Вообразим далее, что в определенном месте первого листа находится какая-то планета и что как раз над или под ней расположена планета на втором листе. Сделав на верхнем листе бумаги у самого края планеты отверстие (брешь в мире!), мы увидим сквозь него соответствующий край планеты на нижнем листе. Захватив этот край каким-нибудь инструментом, подогнем его кверху так, чтобы он заполнил собой отверстие. Таким образом кусочек одного мира попадет в другой мир. Такое перемещение будет перемещением, конечно, по линии третьего измерения.

Хорошо обдумав свои наблюдения в мирах различного числа измерений, доктор глубокомысленных наук, профессор двухмерного университета Арк-Синус прищеп к заключению, что удобнее всего обитать в единственно реальном мире — трехмерном.

*

Мы представили здесь научно-фантастическую картину четырехмерного мира. Однако это не только фантазия: понятия, о которых шла речь, сыграли в последние десятилетия большую роль при построении современных физических теорий. Теории эти чрезвычайно сложны и выходят далеко за пределы популярной статьи.