Ответы на задачи | ТМ 1938-04

(см. ТМ № 3, 1938 г.)

1. ДВА ИГРОКА

Условие, при котором начинающий игрок выигрывает, заключается в следующем: первую коробку начинающий кладет в центр стола, дальнейшие же располагает симметрично положениям коробок противника.

Обозначим ходы первого игрока нечетными номерами, а второго — четными. Через несколько ходов расположение коробок на столе может принять следующий вид:

Если второй игрок занял место № 2, то первый занимает симметричное место № 3. Таким же образом следуют дальнейшие пары ходов: № 4 и № 5; № 6 и № 7 и т. д. Из сказанного ясно, что для первого игрока всегда найдется место, расположенное симметрично месту, занятому предыдущим ходом второго игрока. Когда к концу игры на столе останется всего два места, предпоследнее из них займет второй игрок, а последнее — первый.

Математическая сущность задачи заключается в следующем: прямоугольники, эллипсы и другие фигуры, имеющие центр симметрии, т. е. такую точку, в которой все проходящие через нее оси делятся пополам и делят фигуру на две равные части, включают в себя пары симметричных друг другу точек, центр же симметрии симметричной себе точки не имеет. Поэтому, если симметричную фигуру разбить на ряд площадок так, чтобы одна площадка была в центре симметрии, общее число площадок будет нечетным.

Вот почему первый игрок, занявший площадку в центре стола, выигрывает.

2. МАГНИТ и ЖЕЛЕЗО

Максимум магнитного напряжения — у полюсов магнита. По мере приближения к середине магнита магнетизм ослабевает, в самой же середине величина его равна нулю. Поэтому, если соединить стержни А и В, как показано на рис. 1, притяжения между ними не будет; соединенные же по рис. 2, они притянутся. Так пловец, плывя к берегу, обнаружил, что магнитом является именно стержень А.

В условие задачи намеренно введены пловец и озеро, чтобы исключить подвешивание стержней на нитях, нагревание их и т. д.