Простейший трисектор

В № 8 нашего журнала на стр. 55 был помещен снимок с американского чертежного прибора, помощью которого легко разделить любой угол на три равные части. Ряд читателей высказывает по этому поводу недоумение: ведь трисекция угла — одна из неразрешимых задач геометрии; как же оказалось возможным ее разрешить?

Противоречие, однако, отпадает, если уяснить себе подлинный смысл утверждения, что трисекция угла не разрешима. Утверждая это, математики хотят сказать лишь то, что, применяя только циркуль и линейку, не имеющую на себе никаких меток, невозможно разделить произвольно заданный угол на три равные части. Но математика вовсе не отвергает возможности выполнить это с помощью каких-либо иных приборов. И действительно, механических приборов для достижения указанной цели придумано очень много; американский чертежный инструмент — лишь один из многих.

В качестве примера опишу весьма простой чертежный инструмент — трисектор, который каждый из нас может легко изготовить, потому что он вырезывается ножницами из бумаги. Но рис. 1 прибор изображен в натуральную величину. Примыкающая к полукругу полоска AB равна по длине радиусу полукруга. Край полоски BD составляет прямой угол с прямой AC; он касается полукруга в точке B; длина этой полоски произвольна.

Рис. 1. Простейший трисектор.

Употребление трисектора показано на рис. 2. Пусть требуется разделить на три равные части угол KLM. Трисектор помещают так, чтобы вершина угла L находилась на линии BD, одна сторона угла прошла через точку A, а другая сторона касалась полукруга. Проведя прямые LB и LO, мы разделим данный угол на три равные части.

Рис. 2. Деление угла трисектором.

Доказать это нетрудно, если провести прямую ON, соединяющую центр O полукруга с точкой касания N. Легко видеть, что треугольник ALB = треугольнику LBO = треугольнику OLN, и следовательно, углы ALB, BLO и OLN равны. (Знакомые с начатками геометрии без труда разберутся в этом.)

Существует немало и других инструментов для механического (но не геометрического) деления угла на три равные части. Мы остановились на описанном, как на одном из самых простых.

Я. ПЕРЕЛЬМАН