Николай Иванович Лобачевский

Проф. С. ФИНИКОВ

Со времени Евклида (330—275 гг. до нашей эры) известно, что геометрия — наука умозрительная, строится без всякой связи с опытом, основываясь на чистой логике. Все ее логические построения исходят из нескольких самоочевидных истин — аксиом. Вот этот взгляд уничтожил создатель неевклидовой геометрии, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский.

Современники рисуют его «человеком высокого роста, худощавым, несколько сутуловатым, с головой, почти всегда опущенной вниз, что придавало ему задумчивый вид. Глубокий взгляд его тёмно-серых глаз был постоянно угрюмо задумчив, а сдвинутые брови расправлялись в очень редкие минуты веселого настроения».

По воспоминаниям учеников, в своих лекциях «Лобачевский умел быть глубокомысленным или увлекательным, смотря по предмету изложения. Между тем как в сочинениях своих он отличался слогом сжатым, в аудитории он заботился об изложении со всею ясностью. При испытаниях Лобачевский, по-видимому, отступал от формы: иногда он довольствовался ответом в несколько слов, иногда с неудовольствием останавливал бойкого студента, который исписывал формулами всю доску. Дело в том, что он испытывал развитие способностей и почитал непрочными приобретения молодой памяти».

Он умел быть внимательным ко всякому ищущему знания, а для студентов был нравственным авторитетом. «Все студенты любили ректора Лобачевского, а студенты математического отделения боготворили его».

Родился этот человек в 1793 г. в Макарьевском уезде Нижегородской губернии, в семье уездного архитектора. Отец умер, когда сыну не было еще четырех лет. Мать с тремя сыновьями переехала в Казань и сумела определить их в гимназию на казенный счет.

Казанская гимназия переживала тогда особенное время. Через три года, после того как туда поступил Лобачевский, пришло повеление учредить в Казани университет. Приехавший из Петербурга академик Румовский открыл университет в помещении гимназии. Ученых, профессоров, высококвалифицированных лекторов в Казани не было. Поэтому читать лекции поручили учителям гимназии. Директор ее Яковкин назначен был председателем университетского совета, а ученики старших классов зачислены студентами. Всего набрали тридцать три студента. Проучившись в гимназии пять лет, в университет был переведен и Н. И. Лобачевский.

При таком составе преподавателей и студентов университетское преподавание не отличалось от гимназического. Лобачевский, всегда хорошо учившийся, по донесению директора «приметно предуготовлял себя для медицинского факультета». Но вскоре положение изменилось.

Румовский, вернувшись в Петербург, не переставал заботиться о Казанском университете. Он пригласил из-за границы профессоров, среди которых было несколько выдающихся и своими познаниями и душевными качествами. На Лобачевского особое влияние имели профессор чистой математики Бартельс и профессор физики Броннер.

Броннер был, может быть, наиболее яркой фигурой того, необычайного времени. То католический монах, то последователь иллюминатов в их борьбе с иезуитами, то редактор республиканских журналов и правитель канцелярии министра искусств и наук в Гельветической республике, созданной французской армией, Броннер серьезно изучает математику и пишет поэтические идиллии, изобретает счетную машину и изучает кантональные налоги. Его философские воззрения и страстный интерес к социальным проблемам передались его ученику на всю жизнь.

Еще большее значение для формирования ученого имел Бартельс. С юных лет связанный дружбой с Гауссом, он ставит преподавание в Казани на уровень западных университетов. Среди своих учеников он сразу же выделял Николая Ивановича.

Бартельсу приходилось не только гордиться успехами молодого математика, но и заступаться за него. Еще раньше один из учителей предсказывал гимназисту Лобачевскому, что из него «выйдет разбойник». А протоколы университетского совета сохранили запись о том, как студент Лобачевский был заключен в карцер «за пускание в 11 часов ночи сделанной им ракеты, которая могла быть опасна в рассуждении пожара целому корпусу».

Горячее заступничество учителя не раз спасало увлекающегося юношу. Наконец Лобачевский был назначен адъюнктом и ближайшим помощником Бартельса.

К сожалению, в университете царила невероятная сумятица. Яковкин не совсем отвечал требованиям, предъявляемым к директору, а бесконечные личные ссоры в университетском совете делала его окончательно неработоспособным. Для ревизии дел был прислан новый попечитель учебного округа Магницкий, знаменитый в истории наступившей тогда реакции. Главную причину беспорядков он увидел в недостатке благочестия.

Новые веяния быстро разогнали приглашенных профессоров. Бартельс перевелся в Дерпт, а Броннер еще раньше уехал за границу в отпуск и не вернулся. Лобачевский остался один.

В эти годы в нем шла глубокая внутренняя работа; от механики он перешел к геометрии.

Он стал профессором университета. Когда сместили Магницкого совет получил право выбирать ректора и выбрал Лобачевского. Его переизбирали пять раз подряд. Девятнадцать лет он был ректором Казанского университета.

Это пора его кипучей деятельности. Лобачевский совмещает и должность библиотекаря, приводит в порядок каталог библиотеки, поднимает хозяйство клиник, строит новые здания библиотеки и астрономической обсерватории, организует издание «Ученых записок Казанского университета», хлопочет об учреждении ученого общества. Всюду он вносит свою кипучую энергию. «Все, за что он ни брался, делалось им с глубоким убеждением в пользе дела, а потому он не делал различия между главным и второстепенным, не боялся труда и не жалел своего времени. Достаточно сказать, что все годичные отчеты за время его ректорства написаны его характерным, мелким, «бисерным почерком», говорит его биограф.

В то же время он печатает ряд мемуаров по теории чисел, теории вероятностей и механике и выпускает в свет свои основные сочинения: «Начала геометрии», «Воображаемая геометрия» и др.

Он и преподает в университете и читает публичные лекции по физике, организует ремесленные курсы и сам читает там «народную физику» для широкой аудитории.

*

Первое систематическое изложение геометрии, так называемые «Начала» Евклида, содержит ряд более или менее очевидных аксиом и постулатов. Особое место среди них занимает V постулат, или постулат о параллельных линиях.

Нетрудно убедиться, что два перпендикуляра к одной прямой не пересекаются. В самом деле, если бы они имели общую точку по одну сторону от прямой, то по соображениям симметрии должны были бы иметь вторую общую точку по другую сторону ее. А две прямые, если они не совпадают, могут иметь только одну общую точку.

Таким образом, через всякую точку можно провести прямую, параллельную данной прямой, но будет ли такая прямая единственной? Если одну из двух параллельных прямых повернуть около какой-либо ее точки на самый малый угол, должна ли эта новая прямая пересечь вторую прямую или можно взять такой малый угол поворота, что точки пересечения не будет?

Евклид полагал, что все прямые, кроме одной параллельной, пересекают данную прямую. Именно это сформулировал он в своем постулате: «Если две прямые, пересеченные какой-либо третьей, образуют с ней по одну и ту же сторону такие внутренние углы, что сумма их меньше двух прямых углов, то обе прямые, продолженные в одну и ту же сторону, пересекутся».

Более двух тысяч лет «Начала» Евклида изучались, переводились, комментировались, и все комментаторы прежде всего обращались к V постулату. Этот постулат не был столь очевидным, как все аксиомы. Никто не сомневался в его справедливости, но все пытались его доказать. Однако в действительности доказывали, что V постулат можно заменить другим предложением, ему равносильным.

Уже Прокл (410—485) показал, что V постулат следует из предположения, что параллельные всюду одинаково отстоят друг от друга. Валлис (1616—1703) свел его к гипотезе, что для каждой фигуры имеется подобная фигура произвольной величины.

Саккери (1667—1733) выводит постулат параллельных из существования прямоугольника, а Лежандр (1752—1833) — из того только положения, что сумма углов в треугольнике равна двум прямым углам.

*

Бесплодность всех этих попыток доказать знаменитый постулат должна была привести к мысли о возможности другой геометрии, где сумма углов треугольника всегда меньше 180°. При этом, чем больше площадь треугольника, тем больше разница между суммой его углов и суммой двух прямых. Это значит, что подобные треугольники невозможны, ибо с увеличением треугольника углы его уменьшаются. Это — новая геометрия, где существует треугольник наибольшей площади, все вершины которого ушли в бесконечность, а все углы равны нулю; где через каждую точку проходят две прямые, параллельные данной прямой. Эти две параллельные образуют угол. Все линии, лежащие вне этого угла, совсем не пересекают данную прямую.

Три математика почти одновременно пришли к этой мысли: знаменитый Гаусс, профессор в Геттингене (Германия), работы которого создали эпоху и в теории чисел, и в теории вероятностей, и в дифференциальной геометрии; безвестный венгерец Иоганн Болиай, офицер австрийской армии, и, наконец, казанский профессор Лобачевский.

Гаусс боялся опубликовать полученные им результаты: «У большинства людей нет правильного отношения к вопросам, о которых идет речь», писал он.

И. Болиай в 1832 г. поторопился напечатать свой труд в приложении к книге своего отца; он подозревал Гаусса в том, что тот хочет присвоить себе его открытие, завидовал Лобачевскому и старался его превзойти, задумывая новый труд о преобразовании начал математики.

Он работал над созданием «абсолютной» геометрии, объединяющей все то, что не зависит от V постулата.

12 февраля 1826 г. в совете Казанского университета Н. И. Лобачевский излагает основы новой геометрии. В 1829—1830 гг. он печатает «Начала геометрии», где строит новую, неевклидову геометрию, которая теперь, по справедливости, называется геометрией Лобачевского.

Сначала Лобачевский тоже старался доказать знаменитый постулат, но скоро от этого отказался. «Строгого доказательства сей истины, — пишет Лобачевский, — до сих пор не могли сыскать; какие были даны, могут назваться только пояснениями, но не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими доказательствами».

Лобачевский не опровергал геометрии Евклида. Он только предположил, что мыслимо существование пространств, свойства которых отличаются от свойств евклидова пространства. Новую геометрию, безупречную в своей логической стройности, он даже назвал «воображаемой геометрией».

Если одну из двух параллельных прямых повернуть вокруг какой-либо ее точки, хотя бы на самый малый угол, то, по Евклиду, она обязательно пересечет другую прямую.

Возьмем прямую AB и вне ее точку C. Из этой точки опустим на прямую перпендикуляр СD. Из той же точки C опустим на прямую наклонную CE. Она пересечет прямую слева от перпендикуляра в точке E.

Теперь станем увеличивать угол DCE. Новая наклонная пересечет прямую слева от перпендикуляра уже в точке E₁, затем E₂ и т. д. С увеличением угла точка пересечения будет удаляться.

Продолжая увеличивать угол, мы убедимся, что, перейдя некоторую границу, наклонные уже не будут пересекать прямую АВ с левой стороны. Границей будет некая прямая CF.

Лобачевский устанавливает, что такая пограничная прямая CF пересекает AB в ее бесконечно удаленной точке H, лежащей слева от перпендикуляра.

Очевидно, что направо от перпендикуляра расположена другая бесконечно удаленная точка H₁ прямой АВ; что через точки С и H₁ проходит другая пограничная прямая CF₁; что эта прямая точно так же отделяет прямые, которые, проходя через точку C, пересекают линию AB справа, от тех, которые не пересекают ее в этом направлении.

На Евклидовой плоскости прямые CH и CH₁ сливаются в одну прямую. Прямая эта перпендикулярна CD и параллельна AB.

В геометрии же Лобачевского прямые CH и CH₁ различны и наклонны к перпендикуляру CD. В то же время они называются параллельными к прямой AB, первая (CH) — в направлении справа налево, вторая CH₁ — в направлении слева направо. Углы DCH и DCH₁ называются углами параллельности перпендикуляра CD; эти углы равны между собой.

Угол, образованный двумя параллельными прямыми, называется углом параллельности.

Итак, Лобачевский, отступив от постулата Евклида, предполагает, что из всех прямых, проходящих через заданную точку, часть пересекает заданную прямую, другая часть не пересекает ее. Границей между теми и другими служат две прямые, параллельные данной прямой. В геометрии Евклида угол параллельности равен 180°; в геометрии Лобачевского он меньше 180° и приближается к 180° по мере того, как его вершина приближается к заданной прямой.

В одну сторону параллельные прямые все более и более сближаются, пересекаясь в бесконечности; в другую они неограниченно расходятся.

Сумма углов треугольника в пространстве Лобачевского меньше 180°, и тем меньше, чем больше площадь треугольника. У треугольника наибольшей площади углы равны нулю. Все три вершины его ушли в бесконечность, и, следовательно, все три стороны такого треугольника параллельны друг другу.

В геометрии Лобачевского нет подобных фигур. Подобие фигур невозможно, потому что с увеличением сторон сумма углов уменьшается. Чем меньше фигура, тем менее отличается ее геометрия от Евклидовой. Кроме того, и у Лобачевского площадь наибольшего треугольника может иметь ту или другую величину. Чем больше площадь наибольшего треугольника, тем ближе его геометрия к Евклидовой.

Но, может быть, V постулат Евклида все же можно доказать, доведя до абсурда «воображаемую геометрию». Может быть, при дальнейшем развитии системы Лобачевского можно прийти к противоречию?

«Показав до сих пор, каким образом надо вычислять длину кривой линии, величину поверхности и величину объема тел, мы в праве утверждать, — пишет Лобачевский, — что пангеометрия составляет учение, геометрически полное. Одного взгляда на уравнения, которыми выражают зависимость углов и боков прямолинейных треугольников, достаточно, чтобы доказать, что, начиная с этих уравнений, пангеометрия делается вычислением аналитическим, которое заменяет и обобщает способ обыкновенной геометрии».

Таким образом, при дальнейшем развитии системы Лобачевского противоречий встретиться не может, и она имеет право на существование. Но великий геометр не ограничился только этой формальной точкой зрения. Уже в «Новых началах геометрии» он пишет:

«Напрасное старание со времен Евклида, в продолжение двух тысяч лет, заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения».

К астрономическим наблюдениям он действительно обращается. Различие между геометриями Евклида и Лобачевского прежде всего сказывается в сумме углов треугольника, и с увеличением треугольника эта разница возрастает. Поэтому Лобачевский берет наибольший доступный треугольник, образованный неподвижной звездой (Сириус) и двумя противоположными положениями земли на ее орбите. Предполагая для простоты, что два луча зрения, направленные к Сириусу с земли в ее двух противоположных положениях, параллельны, он определяет в то же время угол наклона их по видимому смещению звезды при годичном движении земли (параллакс). Так приходит Лобачевский к заключению, что сумма углов такого треугольника со сторонами, равными расстоянию земли от солнца, отступает от 180° не более чем на 0,0003 секунды. Это показывает, что для наблюдений на поверхности земли Евклидов постулат имеет силу.

То, чего так боялся Гаусс, произошло с Лобачевским. Власть имущие в конце концов испугались этого странного человека, его непосредственного общения со студенчеством. Каждый университет в те времена считался пороховым погребом. Поэтому министерство просвещения, наконец, решило не утвердить Лобачевского ректором несмотря на то, что совет снова переизбрал его, и назначило его помощником попечителя учебного округа. Ученый был оскорблен. Он тяжело переносил потерю любимой аудитории.

Он был избран членом-корреспондентом Геттингенской академии, членом которой был и Гаусс, но Петербургская академия наук обошла его, и только Московский университет, где в то время товарищи и друзья Лобачевского Брашман и Давыдов основывали математическое общество, избрал его своим почетным членом.

Лобачевский стал слепнуть. Уже слепой, он продолжает работать, посещает все экзамены в университете, выпускает в свет «Пангеометрию» — наиболее полное изложение своей геометрической системы. Но силы его падают. Великий ученый умирает 12 февраля 1856 г., в тот самый день, в который ровно тридцать лет назад он впервые огласил основные принципы своей геометрии.

Его имя сейчас у всех на устах. Его идеи пробили первую брешь в геометрии Евклида. Гораздо далее идущие воззрения Римана о геометрии кривого пространства в наши дни получили неожиданно физический смысл и огромную важность в теории относительности, но все это стало возможным только после работ Лобачевского.