ОБЪЯСНЕНИЕ К РАССКАЗУ «ЗАГАДОЧНАЯ СЛУЧАЙНОСТЬ»

Загадочная случайность. Рассказ-загадка. Э. Зеликович — ТМ № 6, 1936 г.

Неожиданный с первого взгляда результат опыта с иглой объясняет теория вероятностен: отношение общего числа киданий иглы на лист к числу ее случайных, казалось бы, встреч с параллельными линиями стремится к определенному пределу —  числу «пи». С увеличением числа опытов точность результата все более возрастает; закон, в силу которого это происходит, называется законом больших чисел.

Теория вероятностей и, в частности, закон больших чисел находят себе практическое применение в разнообразнейших отраслях науки и промышленности — от далеких звезд и туманностей вплоть до исчисления и предсказания на много лет вперед величины стока рек, необходимых для расчета гидроэлектрических станций, и даже таких «мелочей», как бросание иглы. Рассмотрим, почему в этом последнем случае должно получаться именно число «пи».

Вырежем из картона кружок, поперечник которого равен длине иглы. Наклеим на один из диаметров кружка иглу и будем кидать кружок на лист с параллельными линиями, расстояние между которыми равно двойной длине иглы. Встретит ли кружок при отдельных падениях ту или иную линию, — дело случая. Но все положения кружка при падении равновероятны. Следовательно, примерно в половине всех случаев кружок будет падать на линии и в половине — между ними. Поэтому с возрастанием числа опытов на каждые, например, 400 киданий количество встреч кружка с линиями будет стремиться к числу 200.

Но не при каждом падении кружка на линию будет попадать на нее и игла. Из чертежа видно, что в первом и втором положениях игла попадает на линию, в третьем и четвертом — нет, а в пятом — опять попадает. Таким образом, каждый раз, когда ушко иглы попадает на дугу P, отрезанную от кружка одной из линий, или на симметричную ей дугу P¹, игла пересекает эту линию. А так как все направления иглы при ее падении равновероятны, то вероятность того, что игла пересечет линию, равна отношению длины этих дуг к длине всей окружности, т. е. \(\frac{2Pr}{2\pi r}=\frac P\pi\).

Но длина дуги меняется в зависимости от положения кружка. Когда, например, он только касается линии, P равно нулю, а когда он ложится на линию серединой, P равно числу «пи», т. е. 3,14... Есть способы, дающие возможность вычислить среднее значение P: оно равно 2. Следовательно, из всех случаев, что кружок падает на линии, игла встречает их только в \(\frac2\pi\) части случаев. И если на каждые 400 бросаний кружок падает на линии в среднем 200 раз, то игла должна встретить их в среднем при многократном повторении опыта:

\(200\times\frac2\pi=\frac{400}\pi=127,3\) раза.

Э. ЗЕЛИКОВИЧ