Когда ожидается появление на свет ребенка, то никакая наука не в силах предсказать, родится ли обязательно мальчик или девочка. Но если вы возьмете запись новорожденных какого-нибудь города и проследите подряд тысячу рождений, то вы непременно найдете среди них примерно 511 мальчиков и 489 девочек. Конечно, отклонения в ту или другую сторону возможны. Но эти отклонения по большей части очень малы.
Здесь мы имеем простейший пример того случая, когда об одном единичном событии мы не можем сделать никакого предсказания, но если таких событий совершается множество, то о результате их возможно заранее составить себе довольно точное представление.
Случаи подобного рода встречаются на каждом шагу как в науке, так и в жизненной практике. Про отдельного человека, например, про мужчину 55 лет, здорового, профессия которого не связана с большими опасностями, мы не можем сказать заранее, проживет ли он еще 10 лет. Но если мы зарегистрируем, как это делают страховые органы, скажем, 10 тысяч таких мужчин, то можно будет почти точно предсказать, сколько из них умрёт и сколько останется в живых в течение десятилетнего срока. Как раз на предсказаниях такого рода страховые органы и строят свой экономический план, и не бывает случаев, чтобы они при этом сколько-нибудь значительно ошиблись.
Телефонистка на телефонной станции не знает, сколько вызовов она получит в течение ближайших десяти секунд — 3, 5, 10 или 20. Но она почти безошибочно скажет вам, сколько вызовов последует в ближайшие полчаса.
Современная физика учит, что самый точный анализ данного атомного процесса не позволяет нам предсказать, где будет находиться такой-то интересующий нас отдельный электрон по истечении трех секунд. Но если мы будем говорить не об одном электроне, а о многих миллионах, то можно с большой точностью предсказать, сколько из них будет находиться в любом выбранном нами месте.
*
Случайность, неопределенность в единичном, закономерность и точная определенность в массе — вот что характеризует все описанные нами явления. Множественность событий создает точные и незыблемые законы, которых нет и не может быть в отдельном факте. Эта законообразующая сила массы дает себя чувствовать решительно везде, даже в таких случаях, где это трудно было бы предвидеть. Представьте себе, например, что некий гражданин опускает в почтовый ящик письмо, забыв написать на нем адрес. Сколь бы глупой случайностью ни показался нам этот досадный факт, но и он подчинен законам массовых явлений: статистика почтовых отделений показывает, что процент таких писем из месяца в месяц, из года в год остается неизменным; можно даже более или менее точно предсказать, сколько таких нелепых случаев произойдет в течение ближайшего месяца.
 |
| Статистика почтовых отделений показывает, что процент неправильно адресованных писем из месяца в месяц, из года в год остается неизменным. |
Каково происхождение всех этих массовых закономерностей? Как можно изучать и предсказывать их? На все эти вопросы, важные и для теоретической науки и для человеческой практики, дает ответ интересная и своеобразная математическая теория массовых явлений. Эту науку называют теорией вероятностей. Называют ее так потому, что основным понятием ее служит вероятность того или иного события.
Если у вас в корзине 20 яиц, из которых 17 свежих и 3 испорченных, и если вы берете яйцо наудачу и разбиваете его, то говорят, что вероятность этому яйцу оказаться свежим равна \(\frac{17}{20}\), а испорченным — \(\frac3{20}\)
Если из тысячи новорожденных в среднем бывает 511 мальчиков, то говорят, что вероятность рождения мальчика равна 0,511, а девочки — 0,489.
Таким образом, вероятностью события называют дробь, у которой в знаменателе стоит общее число всех возможностей при данном явлении, а в числителе — число тех возможностей, при которых интересующее нас событие (свежее яйцо, рождение мальчика) наступает.
Теперь вы без труда сами ответите на такой вопрос: если из тысячи застрахованных данной категории в год умирает в среднем 16 человек, то какова вероятность смерти отдельного застрахованного в течение года?
Чем больше вероятность события, тем больше у нас оснований ожидать его наступления. Вы легко сообразите, что если событие почти наверняка должно наступить, то вероятность его должна быть близка к единице, например, 0,999. Напротив, если событие почти наверняка не состоится, вероятность его очень мала, например, 0,001.
*
Теория вероятностей учит, каким способом можно, зная вероятности одних событий, находить по ним вероятности других. Если при этом окажется, что вычисленная нами вероятность какого-нибудь события очень велика (то есть близка к единице), то мы без большого риска можем предсказать, что это событие должно состояться. Напротив, про событие, вероятность которого при вычислении оказывается очень малой, мы с практической достоверностью предскажем, что оно не состоится.
Приведем простой пример из области технического контроля, на котором вы ясно увидите, какую пользу могут принести подобного рода расчеты. Представьте себе ящик, в котором упаковано 2 тысячи электрических лампочек. Техническому контролю надо, допустим, установить, не превышает ли брак в этом ящике 5 процентов. Конечно, полное решение этого вопроса можно получить, проверив все 2 тысячи ламп. Но понятно, что такая операция крайне обременительна, а если таких ящиков имеется много, то просто практически не выполнима. Поэтому контролер делает, как говорят, выборку, он берет из ящика, скажем, 50 ламп и проверяет их. Допустим, что в числе этих 50 проверенных ламп оказалась всего одна негодная. Какой вывод можно отсюда сделать о всем составе ящика? Разумеется, мы ничего не можем гарантировать наверняка, но с помощью довольно простых формул можно вычислить, какова вероятность того, что брак в ящике превышает 5 процентов. Эта вероятность оказывается достаточно малой, и поэтому контролер может считать практически установленным, что брак будет ниже 5 процентов. Напротив, если бы среди 50 проверенных ламп оказалось, скажем, 4 негодных, то те же формулы показали бы нам, что брак в ящике превышает 5 процентов, уже с такой вероятностью, которая довольно близка к единице. Тогда у нас есть, следовательно, все основания ожидать, что дело обстоит именно так, и если по условиям сбыта такой процент брака является недопустимым, то ящик должен быть разгружен и пересмотрен.
Мы видим, что формулы теории вероятностей позволили здесь во много раз сократить работу технического контроля. Совершенно аналогичным образом производится в лесном деле обследование состава деревьев, в агрономии — анализ плодородности почвы; да и почти во всех науках о природе — как теоретических, так и прикладных — приходится пользоваться этим способом выборки. После того как выборочные экземпляры обследованы, формулы теории вероятностей позволяют сделать из результатов этого обследования заключение, касающееся всего изучаемого состава. При этом характерным является то, что мы всегда узнаем лишь вероятности тех или других предположений об изучаемом множестве предметов и никогда не получаем категорических заключений. Однако, с практической точки зрения это не может обеспечить вероятностного метода, так как близкая к единице вероятность практически всегда в нашем жизненном поведении принимается за достоверность.
*
Иногда формулы, которые требуются для расчета вероятностей, бывают очень сложны, и для их вывода требуется большое математическое искусство. Так обстоит дело, например, в теории эксплуатации установок общего пользования.
Пусть мы хотим определить, сколько касс надо поставить в большом магазине для того, чтобы не создавалось больших очередей. Спрос на кассы зависит от числа покупателей. Число это быстро и случайно меняется с течением времени. Изучая закон этого массового явления, мы должны найти вероятность того, что число покупателей превысит ту норму, при которой перегрузка касс становится недопустимой в условиях культурной торговли. И если только эта вероятность окажется ничтожно малой, мы можем удовлетвориться запроектированным числом касс; в противном случае оно должно быть увеличено.
Правда, в приведенном примере этот расчет не может считаться очень ответственным, так как в крайнем случае в большом магазине всегда найдется место, чтобы поставить дополнительную кассу. Но в других аналогичных случаях точность этого расчета крайне важна. Так обстоит дело, например, при строительстве телефонных станций, где встает совершенно такая же задача: сколько необходимо предусмотреть рабочих мест для телефонисток (если станция ручная) или воспринимающих аппаратов (если она автоматическая), чтобы абонентам, вызывающим станцию, не приходилось подолгу ожидать ответа? Нагромождение излишних рабочих мест (или аппаратов) влечет за собой весьма значительное повышение расходов по строительству, оборудованию и эксплуатации и потому крайне не желательно. Напротив, если аппаратов, принимающих вызовы, окажется слишком мало, то состояние связи будет неудовлетворительным, и это может потребовать ломки всей станции и постройки новой (известен целый ряд случаев, когда эта последняя мера действительно становилась необходимой). Все дело в том, чтобы правильно рассчитать вероятность одновременного скопления большого числа вызовов. И это вычисление представляет во многих случаях очень трудную математическую задачу.
 |
| Телефонистка не знает, сколько вызовов она получит в течение ближайших 10 секунд. Но она почти безошибочно скажет, сколько вызовов последует в ближайшие полчаса. |
Приведем еще хотя бы один пример применения теории вероятностей в теоретическом естествознании. Известно, что радиоактивная эволюция химических элементов слагается из большого числа распадов отдельных атомов, составляющих данный элемент. Как происходят и от чего зависят эти распады — об этом мы можем при современном состоянии науки только догадываться. В частности, очень важен вопрос, не зависят ли эти распады друг от друга, то есть не влияет ли происшедший распад одного атома на число распадов среди других, скажем, соседних атомов. Решить этот вопрос непосредственным наблюдением мы не можем. Но мы можем принять такую гипотезу, что, положим, распады атомов не зависят друг от друга. А затем на основании этой гипотезы построить вероятностную теорию распада. Эта теория даст нам определенные вероятности того, что в течение, например, 10 секунд распадется 3, 5 или 10 атомов. Выводы этой теории мы можем затем проверить на опыте. Пусть, например, вероятность того, что число распадов в течение данного промежутка времени не превысит 10, составляет одну треть по нашим расчетам. Это значит, что при большом числе произведенных наблюдений мы должны, примерно, в одной трети всех наблюдаемых случаев получить не более 10 распадов, и если при большом количестве поставленных экспериментов выводы нашей теории получат подтверждение, то мы можем считать, что положенная в основу этой теории гипотеза о взаимной независимости распадов отдельных атомов соответствует действительности.
Таким образам, построенная нами вероятностная теория дает возможность проверить на опыте лежащую в ее основании физическую гипотезу и тем самым решить вопрос о правильности или неправильности этой гипотезы.
Все приведенные нами примеры следует рассматривать именно только как примеры, которые далеко не в состоянии исчерпать даже самые основные типы приложений теории вероятностей.
*
Теория вероятностей возникла в XVII столетии. Вначале она развивалась как теория азартных игр и страховых операций. Последнее было особенно важно в связи с расширявшимся мореплаванием. Несколько позднее теория вероятностей охватила более широкий круг экономических проблем. И только в XIX столетии началось применение теории вероятностей к естественным наукам и прежде всего к физике. Это совпало с развитием в физике молекулярных теорий, потребовавших специального математического аппарата для анализа массовых явлений. Еще более молодыми являются приложения теории вероятностей к химии, биологии и технике.
В настоящее время трудно указать область науки или техники, которая в большей или меньшей степени не пользовалась бы выводами теории вероятностей. Спрос на ее методы растет буквально с каждым днем. Объясняется это, разумеется, тем, что массовые явления получают все большее значение как в науке, так и в человеческой практике. Торжество молекулярных теорий в физике и химии, переход промышленности ко все более массовому производству, развитие крупного животноводства и растениеводства и, наконец, социальные сдвиги, заставляющие даже капиталистические государства все более и более интересоваться жизнью масс, — все эти факторы выдвинули на центральное место ту часть математического аппарата, обслуживающего науку, технику и всю практическую жизнь человека, которая изучает массовые явления. Этой частью, как мы уже знаем, является теория вероятностей.
*
Начиная с середины XIX столетия, ведущую роль в развитии теории вероятностей заняла русская математическая школа. За работами Чебышева, основоположную роль которых теперь признает весь мир, последовали не менее значительные работы его учеников — Маркова и Ляпунова. После Великой пролетарской революции советская математическая школа это ведущее положение укрепила еще более. Только теперь впервые была создана, вместо работавших в царскую эпоху математиков-одиночек, научная вероятностная школа, в полном смысле этого слова. И к голосу этой школы сейчас прислушивается весь мир.
Комментариев нет:
Отправить комментарий