ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА

Я. ПЕРЕЛЬМАН

АРИФМЕТИЧЕСКИЙ РЕБУС

В одном зарубежном шахматном журнале была предложена задача: раскрыть истинный смысл следующего примера деления чисел, в котором почти все цифры заменены пешками.

Из 28 цифр известны только две: одна (8) в частном и другая (1) в остатке. Казалось бы, доискаться значения прочих 26 цифр, обозначенных фигурами, немыслимо. Между тем, это сравнительно несложная задача для каждого, кто отчетливо представляет себе смысл отдельных операций, входящих в состав действия деления.

Вот какой ход рассуждений приводит нас к цели.

1. Вторая цифра частного есть, конечно, ноль. Это следует из того, что к остатку от первого вычитания снесена не одна цифра, а две; ясно, что после снесения первой цифры составилось число, меньшее делителя, а в таких случаях очередная цифра частного — 0.

По сходным основаниям заключаем, что четвертая цифра частного также 0.

2. Всматриваясь в расположение фигур, замечаем, что двузначный делитель, будучи умножен на 8, дает число двузначное; когда же его умножают на первую (пока не известную) цифру частного, получается число из трех цифр. Значит, эта первая цифра частного больше 8; такой цифрой может быть только 9.

Сходным образом устанавливаем, что и последняя цифра частного — 9.

3. Теперь частное определилось: 90 809. Остается раскрыть смысл делителя. Делитель состоит, мы знаем, из двух цифр; кроме того, расположение фигур говорит нам о том, что это двузначное число при умножении на 8 дает также двузначное число, а при умножении на 9 оно дает произведение, состоящее уже из трех цифр. Что же это за число? Производим испытания, начиная с наименьшего двузначного числа — 10:

$10\times 8=80$

$10\times 9=90$.

Число десять, как видим, не удовлетворяет требуемым условиям: оба произведения двузначные. Испытываем следующее двузначное число — 11:

$11\times 8=88$

$11\times 9=99$.

Число 11 также, очевидно, не годится: оба произведения снова двузначные. Испытываем 12:

$12\times 8=96$

$12\times 9=108$.

Число 12 удовлетворяет всем требованиям. Нет ли еще таких чисел? Испытываем 13:

$13\times 8=104$

$13\times 9=117$.

Оба произведения трехзначные; следовательно, 13 не годится. Ясно, что неподходящими являются и все числа, большие, чем 13.

Итак, единственный возможный делитель — 12. Зная делитель, частное и остаток, легко находим делимое и восстановляем весь случай деления.

Делимое $=90809\times 12+1=1089709$.

Случай деления:

Как видим, по двум известным цифрам нам удалось установить смысл 26 неизвестных цифр.