Вопросы занимательной математики

Ящик

Крышка прямоугольного ящика заключает 120 кв. сантиметров. Передняя его стенка содержит 96 кв. сантиметров, а боковая 80 кв. сантиметров.

Можно ли, пользуясь этими данными, установить размеры ящика в длину, в высоту и в ширину?

Оказывается, что сделать это нетрудно.

Из данных задачи легко установить, что:

длина × ширину = 120
высота × ширину = 80
высота × длину = 96

Перемножив первые два равенства, получим

длина × высоту × ширину × ширину = 120 × 80

Разделим полученное равенство на третье у нас получается:

(длина × высоту × ширину × ширину) / длина × высоту = 120 × 80 / 96

Сделав сокращение дробей и выполнив действия, будем иметь:

ширина × ширину = 100

Отсюда ясно, что ширина ящика равна 10 см.

Теперь нетрудно определить его высоту и длину:

высота = 80 / ширину = 80 / 10 = 8 см.;

длина = 120 / ширину = 120 / 10 = 12 см.

Задача Джека Лондона

Следующее место романа Джека Лондона «Маленькая хозяйка большого дома» дает материал для геометрического расчета.

«Посередине поля возвышался стальной шест, врытый глубоко в землю. С верхушки шеста, к краю поля тянулся трос, прикрепленный к трактору. Механики нажали рычаг, и мотор заработал.

Машина сама двинулась вперед, описывая окружность вокруг места, служившего ее центром.

— Чтобы окончательно усовершенствовать машину, — сказал Грэхем, — вам остается превратить окружность, которую она описывает, в квадрат.

— Да, на квадратном поле пропадает при такой системе очень много земли.

Грэхем произвел некоторые вычисления, затем заметил:

— Теряется примерно 3 акра из каждых 10.

— Не меньше».

Математическая проверка показывает, что расчет автора неверен, теряется меньше 0,3.

Пусть, в самом деле, сторона квадрата — а. Площадь такого квадрата а². Диаметр вписанного круга равен также а, а его площадь — 𝜋а²/4.

Пропадающая часть квадратного участка составляет, следовательно

Мы видим, что необработанная часть квадратного поля составляет не 30 проц., как полагал американский романист, а только 22 проц.

Две свечи

В квартире внезапно погас электрический свет: перегорел предохранитель. Я зажег 2 свечи, предусмотрительно заготовленные на письменном столе, и занимался при их свете, пока повреждение сети не было исправлено.

На другой день понадобилось установить, сколько времени квартира оставалась без тока. Я не заметил, в котором часу прекратилось освещение и в котором оно возобновилось. Не знал я также и первоначальной длины свеч. Я помнил только, что свечи были одинаковой длины, но разной толщины: толстая из тех, которые сгорают целиком в 5 часов, тонкая —  в 4 часа. Обе свечи были зажжены мною впервые. Остатков свечи я не нашел — домашние их выбросили.

— Огарки были малы, не стоило хранить, — объяснили мне.

— Не вспомните ли хотя бы, какой они были длины?

— Разной. Один в 4 раза длиннее другого.

Больше мне ничего не удалось узнать. Приходилось ограничиться перечисленными сведениями и по ним установить продолжительность горения свеч.

Вот как мне удалось выйти из этого затруднения.

Обозначим неизвестное число часов горения свеч через х. Каждый час сгорало х/5 толстой свечи и х/4 тонкой. Огарок толстой свечи равнялся 1 - х/5, а тонкой 1 - х/4. Первый огарок, как нам известно, был длиннее второго в 4 раза. Имеем, следовательно, уравнение:

Решив это уравнение, узнаем что х = 3¾ часа, т. е, свечи горели 3 часа 45 минут.

Я. ПЕРЕЛЬМАН