Гулливер и математика
Остроумная сатира Свифта «Путешествие Гулливера» дает повод к серии любопытных задач. Дело в том, что сатира эта опирается на математический расчет и выдержана в этом смысле очень строго. Лилипуты и все предметы их страны меньше нормальных размеров в 12 раз; великаны и все в их стране во столько же раз больше.
Из этих простых математических соотношений вытекает целый ряд неожиданных следствий, хорошо предусмотренных Свифтом в его повествовании. Разве не поражал вас, например, при чтении «Путешествий Гулливера в страну лилипутов» невероятный аппетит рассказчика:
«Поевши, — читаем мы дальше, — я показал знаками, что мне хочется пить. Лилипуты ловко подняли на веревках до уровня моего стола бочку вина самого большого размера, подкатили ее к моей руке и выбили дно. Я выпил ее одним духом. Мне подкатили бочку; я осушил ее залпом, как и первую, и попросил еще, но больше у них не было».
Все это кажется на первый взгляд несоразмерным с величиной Гулливера, который был выше лилипутов только в 12 раз. Дело представится, однако, в ином свете, если вникнуть поглубже в рассматриваемые соотношения. Нужно принять в соображение, что Гулливер не только в 12 раз выше лилипута, но также в 12 раз шире их и в 12 раз толще. Следовательно, объем тела Гулливера превосходил объем лилипута в 12×12×12=1728 раз.
Понятно, что и для пропитания Гулливера требуется во столько же раз больше пищи: его обед должен равняться 1728 лилипутским обедам. Вспомните, какое множество поваров и иных работников нужно для того, чтобы накормить обедом 1728 человек, и вы перестанете удивляться рассказу Гулливера. Примите в расчет и высоту стола Гулливера, в 12 раз большую нормальной: вместо ¾ лилипутского метра, целых 9 метров. Лилипутам приходилось подавать 1728 обедов на высоту третьего этажа!
Способность Гулливера залпом олорожнивать целые бочки вина лилипутов тоже не представляет ничего неожиданного для хорошего математика. Десятиведерная бочка лилипутов вмещала 10×60=600 лилипутских стаканов. Но их стаканы по объему, в 1728 меньше наших. Следовательно, в их бочке содержалось вина всего ⁶⁰⁰/₁₇₂₈, т. е. около одной трети стакана. Такое количество вина не трудно выпить одним залпом.
Подобным же образом объясняются и другие непонятные места в «Путешествии Гулливера». Чтобы отвезти его в город лилипутов, понадобилось «500 самых крупных лошадей», потому что везти надо было груз 70×1728 = около 120 тонн, а одна лошадь может быстро везти не больше четверти тонны.
Яблоко, упавшее на Гулливера в саду великанов, сшибло его с ног, потому что оно весило в 1728 раз больше обыкновенного, т. е. примерно 100×1728=173000 граммов, или 173 килограмма. А если это было яблоко в роде выведенной Мичуриным «антоновки полукилограммовой», то в стране великанов оно должно было весить более ⁴/₅ тонны!
Любопытно вычислить, сколько должны были весить в стране великанов Свифта такие мелкие и легкие предметы, как писчие перья, спички, гвозди, ключи, почтовые открытки, если при нормальных размерах они весят:
У Свифта все подобные мелочи тщательно рассчитаны. Подобно Пушкину, утверждавшему, что в «Евгении Онегине» время вычислено по календарю, автор «Гулливера» мог бы сказать, что в его произведении все рассчитано по правилам геометрии.
Я. ПЕРЕЛЬМАН
Прикинь на глаз
Начертите циркулем на бумаге 2 круга — один побольше другого. Диаметры кругов могут быть примерно такие, как изображено у нас, или несколько больше.
Отложите циркуль и изобразите теперь рядом от руки — на глаз — третий круг, площадь которого была бы равна сумме площадей двух первых кругов. Делать при этом какие-либо измерения или подсчеты на бумаге нельзя. Вся задача — на прикидку в уме и на глазомер.
После того как вы начертили от руки третий круг, проверьте ваше решение. Из геометрии известно, что площадь круга равна 𝜋d²/4, где 𝜋 постоянное число (3,14), a d диаметр данного круга. Найдите поточнее с помощью линейки диаметр искомого круга и выясните, как велика ваша ошибка — в большую или меньшую сторону. Если эту линейную разницу между верным диаметром и диаметром в вашем решении поделить на длину верного диаметра, то с увеличением частного от деления в 100 раз получится ошибочность или точность решения в процентах. Например, если верный диаметр оказался равным 54 мм, а разница с вашим диаметром составляет 3 мм, то точность решения определится в процентах как (3:54)×100=100:18=5,5 проц.
Пользуясь этим способом определения ошибочности, можно легко устраивать соревнования в глазомере. Это представит интерес даже тогда, когда все участники соревнования будут хорошо знать практический прием, обоснованный математически, как находить диаметр искомого круга.
При сложении площадей двух квадратов сторона искомого квадрата, возведенная во вторую степень, должна равняться сумме вторых степеней от каждой из сторон данных квадратов. Алгебраически это пишется: х²=а²+b². Но общеизвестно, что это есть формула зависимости между гипотенузой и двумя катетами в прямоугольном треугольнике (по теории Пифагора). Значит, сторона искомого квадрата х составляет гипотенузу в том прямоугольном треугольнике, в котором катетами будут а и b (см. чертеж).
При складывании площадей двух кругов делается совершенно то же самое, потому что площади кругов зависят только от величины их диаметров. Другими словами, чтобы найти диаметр круга, рановеликого двум данным кругам, надо раньше построить прямой угол. По одной его стороне надо отложить от вершины длину диаметра одного круга, а по другой стороне — диаметр другого круга. Тогда прямая, соединяющая концы отрезков на сторонах угла, и представит собой диаметр искомого круга.
Именно этим способом с помощью линейки надо поточнее делать проверку решений. А решать надо на глаз, мысленно представляя себе при всматривании в начерченные заданные круги, каков будет искомый диаметр при описанном выше построении.
К. ВЕЙГЕЛИН
Комментариев нет:
Отправить комментарий