Ответ на математический рассказ Я. ПЕРЕЛЬМАНА | ТМ 1938-11

(см. № 8—9)

Председателем математического совещания выбран был первый свидетель.

В краткой вступительной речи он напомнил товарищам их показания и затем дал слово третьему свидетелю.

— Я твердо помню, — начал тот, — что последние три цифры номера выражают куб целого числа. Трехзначных кубов, к счастью, не так много. Их всего пять. Выбор, как видите, весьма ограничен; поэтому я и просил дать мне слово первому. Вот эти пять кубических чисел:

$125=5^3$; $216=6^3$; $343=7^3$; $512=8^3$; $729=9^3$.

— Совершенно правильно, — сказал председатель. — Кубы всех прочих чисел состоят либо меньше, чем из трех цифр, либо больше. К тому же, число $343$ надо исключить: я помню, что повторяющихся цифр в номере автомобиля не было.

— А я настаиваю на исключении также чисел $216$ и $512$, — заявил четвертый свидетель. — Как было показано мною на суде, две средние цифры номера, т. е. третья и четвертая, выражают число простое. Но двухзначное простое число не может оканчиваться ни двойкой, ни пятеркой, так как в этом случае оно будет делиться либо на $2$, либо на $5$, а следовательно, не будет простым числом.

— Отлично! — воскликнул председатель. — Это суживает выбор кубических чисел до двух: $125$ и $729$. Их надо будет присоединить к какому-то трехзначному квадрату.

— К сожалению, трехзначных квадратов довольно много, — сказал второй свидетель, — от $10$ до $31$, т. е. $21$ число.

— Значит, два моих куба, — меланхолически заметил третий свидетель, — придется сочетать с $21$ квадратом. Это можно сделать $42$ различными способами...

— Но ведь не все квадраты годятся в дело, — успокоил его председатель. — Не забудьте, что нужно исключить числа с повторяющимися цифрами, такие, как $100$, $121$, $144$ и им подобные.

— Это значительно уменьшает число возможных сочетаний, — с удовлетворением сказал второй свидетель.

— Будем действовать систематически, — продолжал председатель. — Применим последовательно каждый из двух кубов: сначала $125$, потом $729$. Так как в номере, мы знаем, не должно быть повторяющихся цифр, то число $125$ мы будем присоединять только к тем квадратам, в состав которых не входят цифры $1$, $2$ и $5$. Это опять-таки суживает выбор квадратов.

— Из $21$ квадратного числа останется тогда совсем немного, — заметил второй свидетель.

— Просмотрим по порядку все квадраты, — предложил председатель. — Список трехзначных квадратов у меня в руках. Числа $100$, $121$, $144$, как я уже говорил, исключаются. На очереди число $169$...

— Это число я отвергаю, — объявил четвертый свидетель. — Если на третьем месте стоит цифра $9$, а на четвертом $1$, то две средние цифры номера составляют $91$ — число составное, так как $91=7\times 13$. Между тем я отчетливо помню, что в середине было простое двухзначное число. Все квадраты, оканчивающиеся цифрой $9$, приходится откинуть.

— Очень хорошо, -— сказал председатель. — Примем в соображение, что квадратные числа, вообще говоря, оканчиваются только цифрами $1$, $4$, $5$, $6$, $9$ и $0$; квадратов, кончающихся на $2$, $3$, $7$ и $8$, не существует. В нашем случае цифры $1$, $5$ и $9$ противопоказаны. Исключается и нуль, потому что квадратное число может оканчиваться только двумя нулями, а повторение цифр у нас не допускается. Остается перебрать, следовательно, только те квадраты, которые оканчиваются на $4$ или на $6$, избегая при этом повторения цифр. Что же оказывается? Такое число только одно: $784$. Соединяя его с числом $125$, получаем, что искомый номер может быть $784125$.

— Я против этой кандидатуры не возражаю, — заговорил молчавший до сих пор пятый свидетель. — Номер автомобиля делится без остатка на $3$. Число $784125$ не противоречит этому требованию.

— А также не противоречит и показаниям всех остальных свидетелей, — добавил председатель. — Но единственное ли это подходящее число? Нет ли еще претендентов? Наши изыскания не кончены; мы должны испытать пригодность другого куба — $729$.

— В списке квадратов, — сказал второй свидетель, — придется на этот раз зачеркнуть все числа, заключающие цифры $7$, $2$, $9$.

— И, конечно, как прежде, все числа с повторяющимися цифрами, — добавил председатель.

— А также числа, кончающиеся цифрой $5$, — заметил четвертый свидетель, —  потому что $57$ — не простое число.

— Теперь у нас остаются... — проговорил председатель, рассматривая листок с перечнем квадратных чисел, — остаются только два подходящих числа: $361$ и $841$. Присоединяя к ним куб $729$, получаем номера: $361729$ и $841729$. Нет ли каких-нибудь возражений?

— Есть, — отозвался пятый свидетель. — Даю отвод обоим новым кандидатам: числа $361729$ и $841729$ не делятся на $3$.

— Совершенно правильно, — согласился председатель. — Итак, мы можем поздравить себя с полным успехом наших розысков. Существует только одно единственное число, которое отвечает показаниям всех свидетелей: $784125$.