Председателем математического совещания выбран
был первый свидетель.
В краткой вступительной речи он напомнил
товарищам их показания и затем дал слово третьему свидетелю.
— Я твердо помню, — начал тот, — что последние
три цифры номера выражают куб целого числа. Трехзначных кубов, к счастью, не
так много. Их всего пять. Выбор, как видите, весьма ограничен; поэтому я и
просил дать мне слово первому. Вот эти пять кубических чисел:
\(125=5^3\); \(216=6^3\); \(343=7^3\);
\(512=8^3\); \(729=9^3\).
— Совершенно правильно, — сказал председатель. — Кубы всех прочих чисел состоят либо меньше, чем из трех цифр, либо больше. К тому же, число \(343\) надо исключить: я помню, что повторяющихся цифр в номере автомобиля не было.
— А я настаиваю на исключении также чисел
\(216\) и \(512\), — заявил четвертый свидетель. — Как было показано мною на
суде, две средние цифры номера, т. е. третья и четвертая, выражают число
простое. Но двухзначное простое число не может оканчиваться ни двойкой, ни
пятеркой, так как в этом случае оно будет делиться либо на \(2\), либо на
\(5\), а следовательно, не будет простым числом.
— Отлично! — воскликнул председатель. — Это
суживает выбор кубических чисел до двух: \(125\) и \(729\). Их надо будет
присоединить к какому-то трехзначному квадрату.
— К сожалению, трехзначных квадратов довольно
много, — сказал второй свидетель, — от \(10\) до \(31\), т. е. \(21\) число.
— Значит, два моих куба, — меланхолически
заметил третий свидетель, — придется сочетать с \(21\) квадратом. Это можно
сделать \(42\) различными способами...
— Но ведь не все квадраты годятся в дело, —
успокоил его председатель. — Не забудьте, что нужно исключить числа с
повторяющимися цифрами, такие, как \(100\), \(121\), \(144\) и им подобные.
— Это значительно уменьшает число возможных
сочетаний, — с удовлетворением сказал второй свидетель.
— Будем действовать систематически, —
продолжал председатель. — Применим последовательно каждый из двух кубов:
сначала \(125\), потом \(729\). Так как в номере, мы знаем, не должно быть
повторяющихся цифр, то число \(125\) мы будем присоединять только к тем
квадратам, в состав которых не входят цифры \(1\), \(2\) и \(5\). Это опять-таки
суживает выбор квадратов.
— Из \(21\) квадратного числа останется тогда
совсем немного, — заметил второй свидетель.
— Просмотрим по порядку все квадраты, —
предложил председатель. — Список трехзначных квадратов у меня в руках. Числа
\(100\), \(121\), \(144\), как я уже говорил, исключаются. На очереди число
\(169\)...
— Это число я отвергаю, — объявил четвертый
свидетель. — Если на третьем месте стоит цифра \(9\), а на четвертом \(1\), то
две средние цифры номера составляют \(91\) — число составное, так как
\(91=7\times13\). Между тем я отчетливо помню, что в середине было простое
двухзначное число. Все квадраты, оканчивающиеся цифрой \(9\), приходится
откинуть.
— Очень хорошо, -— сказал председатель. —
Примем в соображение, что квадратные числа, вообще говоря, оканчиваются только
цифрами \(1\), \(4\), \(5\), \(6\), \(9\) и \(0\); квадратов, кончающихся на
\(2\), \(3\), \(7\) и \(8\), не существует. В нашем случае цифры \(1\), \(5\) и
\(9\) противопоказаны. Исключается и нуль, потому что квадратное число может
оканчиваться только двумя нулями, а повторение цифр у нас не допускается.
Остается перебрать, следовательно, только те квадраты, которые оканчиваются на
\(4\) или на \(6\), избегая при этом повторения цифр. Что же оказывается? Такое
число только одно: \(784\). Соединяя его с числом \(125\), получаем, что
искомый номер может быть \(784125\).
— Я против этой кандидатуры не возражаю, —
заговорил молчавший до сих пор пятый свидетель. — Номер автомобиля делится без
остатка на \(3\). Число \(784125\) не противоречит этому требованию.
— А также не противоречит и показаниям всех
остальных свидетелей, — добавил председатель. — Но единственное ли это
подходящее число? Нет ли еще претендентов? Наши изыскания не кончены; мы должны
испытать пригодность другого куба — \(729\).
— В списке квадратов, — сказал второй
свидетель, — придется на этот раз зачеркнуть все числа, заключающие цифры
\(7\), \(2\), \(9\).
— И, конечно, как прежде, все числа с
повторяющимися цифрами, — добавил председатель.
— А также числа, кончающиеся цифрой \(5\), —
заметил четвертый свидетель, — потому
что \(57\) — не простое число.
— Теперь у нас остаются... — проговорил
председатель, рассматривая листок с перечнем квадратных чисел, — остаются
только два подходящих числа: \(361\) и \(841\). Присоединяя к ним куб \(729\),
получаем номера: \(361729\) и \(841729\). Нет ли каких-нибудь возражений?
— Есть, — отозвался пятый свидетель. — Даю
отвод обоим новым кандидатам: числа \(361729\) и \(841729\) не делятся на
\(3\).
— Совершенно правильно, — согласился председатель. — Итак, мы можем поздравить себя с полным успехом наших розысков. Существует только одно единственное число, которое отвечает показаниям всех свидетелей: \(784125\).
Комментариев нет:
Отправить комментарий