СКОРОСТЬ И ЦВЕТ

Б. РЕВЗЮК

Известен один забавный анекдот про знаменитого американского физика Роберта Вуда.

Он мчался однажды на автомобиле с очень большой скоростью. Его задержал полисмен и потребовал объяснений, почему профессор не остановился, несмотря на красный сигнал.

— Но я видел зеленый свет...

— Э, перестаньте оправдываться, красная лампа включена вот уже минут восемь, ожидается вашингтонский экспресс.

— Возможно, — невозмутимо сказал Вуд, — тем не менее я видел зеленый сигнал.

— Вы и сейчас его видите?

— Нет, сейчас я вижу красный.

— Но сигналы не переключались.

— Я этого и не хочу сказать. Свет, казавшийся мне во время езды зеленым, сейчас воспринимается мной как красный.

Полисмен в недоумении переводил глаза с задержанного автомобилиста на злополучный сигнал.

— Мой друг, — Вуд мягко прикоснулся к плечу полицейского, — постарайтесь внимательно меня выслушать и вам все станет ясно. Вам известно, что свет — это волны, возбуждающие в нашем глазу зрительное ощущение. Разные цвета обусловлены различием в частоте колебаний этих волн и только. Красный свет — это наиболее «медленные» колебания — их всего 450 биллионов в секунду, зеленый более быстрые: 550. Теперь вообразите, что вы весьма быстро приближаетесь к источнику световых колебаний красного цвета; естественно, что в секунду вы будете воспринимать большее число световых колебаний, нежели находясь в покое. При достаточной скорости движения вам в глаз попадет вместо четырехсот пятидесяти — пятьсот пятьдесят биллионов колебаний в секунду; вместо красного вы увидите зеленый свет. Это-то и произошло со мной, закончил Вуд, — усаживаясь в машину.

— Но в таком случае вы должны были ехать с очень большой скоростью.

— А это вы можете легко сосчитать, — весело сказал Вуд — все данные у вас есть... Да, скорость распространения световых волн круглым числом равна 300 тыс. километров в секунду.

Пользуясь замешательством полисмена, профессор тронул руль и автомобиль быстро укатил.

Нам неизвестно, решал ли блюститель порядка задачу Вуда. Но если бы он произвел расчет, то должен был убедиться в том, что он стал жертвой несомненного обмана; чтобы наблюдать описанное явление (известное под названием эффекта Допплера), проф. Вуд должен был мчаться со скоростью более 60 тыс. километров в секунду.

Расчет несложен и напоминает известную алгебраическую задачу о двух пешеходах. Приводим его для любителей математики.

Имеем источник колебаний \(S\) распространяющихся со скоростью \(v\), и наблюдателя, приближающегося к источнику со скоростью \(u\). Источник излучает \(n\) волн в секунду. Пусть в тот момент, когда расстояние между источником и наблюдателем было \(L\), из \(S\) отправилась волна; она достигнет наблюдателя через время \(t\). За это время волна пройдет путь \(vt\), а наблюдатель \(ut\): \(vt+ut=L\), откуда \(t=\frac L{v+u}\).

Следующая волна отправится через \(\frac1n\) секунды после первой, но ей придется пройти уже меньший путь: \(L-u\frac1n\). Время \(t'\) затраченное ею для достижения наблюдателя, найдем из равенства \(vt'+ut'=L-\frac un\), откуда \(t'=\frac{L-{\displaystyle\frac un}}{v+u}\). Итак, вторая волна будет воспринята наблюдателем через \(t''=\frac{L-{\displaystyle\frac un}}{v+u}+\frac1n\) секунд после отправления первой. Промежуток времени, протекший между двумя последовательно воспринятыми колебаниями 

\(T=t''-t=\frac{L-{\displaystyle\frac un}}{v+u}+\frac1n-\frac L{v+u}=\frac{L-{\displaystyle\frac un}}{v+u}+\frac1n=\frac1n\left[L-\frac u{v+u}\right]=\frac1n\times\frac v{v+u}\).

Итак, до наблюдатели колебания доходят через каждые \(\frac1n\times\frac v{v+u}\) секунд. С его точки зрении частота источника не \(n\), а \(n'=n\frac{v+u}v\). Перепишем эту формулу в виде пропорции, разделив обе ее части на \(n\):

\(\frac{n'}n=\frac{v+u}v\).

Разделим числитель и знаменатель правой части на \(v\):

\(\frac{n'}n=1+\frac uv\),

отсюда 

\(u=v\left(\frac{n'}n-1\right)\).

Подставляя сюда \(\frac{n'}n=\frac{550}{450}=\frac{11}9\) и \(v\) = 300000 километров в cекунду, найдем 

\(u=300000\left(\frac{11}9-1\right)=66000\) км/сек.

Итак, скорость автомобиля должна быть равной 66 тыс. километров в секунду.