СКОРОСТЬ И ЦВЕТ

Б. РЕВЗЮК

Известен один забавный анекдот про знаменитого американского физика Роберта Вуда.

Он мчался однажды на автомобиле с очень большой скоростью. Его задержал полисмен и потребовал объяснений, почему профессор не остановился, несмотря на красный сигнал.

— Но я видел зеленый свет...

— Э, перестаньте оправдываться, красная лампа включена вот уже минут восемь, ожидается вашингтонский экспресс.

— Возможно, — невозмутимо сказал Вуд, — тем не менее я видел зеленый сигнал.

— Вы и сейчас его видите?

— Нет, сейчас я вижу красный.

— Но сигналы не переключались.

— Я этого и не хочу сказать. Свет, казавшийся мне во время езды зеленым, сейчас воспринимается мной как красный.

Полисмен в недоумении переводил глаза с задержанного автомобилиста на злополучный сигнал.

— Мой друг, — Вуд мягко прикоснулся к плечу полицейского, — постарайтесь внимательно меня выслушать и вам все станет ясно. Вам известно, что свет — это волны, возбуждающие в нашем глазу зрительное ощущение. Разные цвета обусловлены различием в частоте колебаний этих волн и только. Красный свет — это наиболее «медленные» колебания — их всего 450 биллионов в секунду, зеленый более быстрые: 550. Теперь вообразите, что вы весьма быстро приближаетесь к источнику световых колебаний красного цвета; естественно, что в секунду вы будете воспринимать большее число световых колебаний, нежели находясь в покое. При достаточной скорости движения вам в глаз попадет вместо четырехсот пятидесяти — пятьсот пятьдесят биллионов колебаний в секунду; вместо красного вы увидите зеленый свет. Это-то и произошло со мной, закончил Вуд, — усаживаясь в машину.

— Но в таком случае вы должны были ехать с очень большой скоростью.

— А это вы можете легко сосчитать, — весело сказал Вуд — все данные у вас есть... Да, скорость распространения световых волн круглым числом равна 300 тыс. километров в секунду.

Пользуясь замешательством полисмена, профессор тронул руль и автомобиль быстро укатил.

Нам неизвестно, решал ли блюститель порядка задачу Вуда. Но если бы он произвел расчет, то должен был убедиться в том, что он стал жертвой несомненного обмана; чтобы наблюдать описанное явление (известное под названием эффекта Допплера), проф. Вуд должен был мчаться со скоростью более 60 тыс. километров в секунду.

Расчет несложен и напоминает известную алгебраическую задачу о двух пешеходах. Приводим его для любителей математики.

Имеем источник колебаний $S$ распространяющихся со скоростью $v$, и наблюдателя, приближающегося к источнику со скоростью $u$. Источник излучает $n$ волн в секунду. Пусть в тот момент, когда расстояние между источником и наблюдателем было $L$, из $S$ отправилась волна; она достигнет наблюдателя через время $t$. За это время волна пройдет путь $vt$, а наблюдатель $ut$: $vt+ut=L$, откуда $t=\frac{L}{v+u}$.

Следующая волна отправится через $\frac{1}{n}$ секунды после первой, но ей придется пройти уже меньший путь: $L-u\frac{1}{n}$. Время $t^{\prime }$ затраченное ею для достижения наблюдателя, найдем из равенства $v{t}^{\prime }+u{t}^{\prime }=L-\frac{u}{n}$, откуда $t^{\prime }=\frac{L-{\displaystyle \frac{u}{n}}}{v+u}$. Итак, вторая волна будет воспринята наблюдателем через $t^{″}=\frac{L-{\displaystyle \frac{u}{n}}}{v+u}+\frac{1}{n}$ секунд после отправления первой. Промежуток времени, протекший между двумя последовательно воспринятыми колебаниями 

$T=t^{″}-t=\frac{L-{\displaystyle \frac{u}{n}}}{v+u}+\frac{1}{n}-\frac{L}{v+u}=\frac{L-{\displaystyle \frac{u}{n}}}{v+u}+\frac{1}{n}=\frac{1}{n}[L-\frac{u}{v+u}]=\frac{1}{n}\times \frac{v}{v+u}$.

Итак, до наблюдатели колебания доходят через каждые $\frac{1}{n}\times \frac{v}{v+u}$ секунд. С его точки зрении частота источника не $n$, а $n^{\prime }=n\frac{v+u}{v}$. Перепишем эту формулу в виде пропорции, разделив обе ее части на $n$:

$\frac{n^{\prime }}{n}=\frac{v+u}{v}$.

Разделим числитель и знаменатель правой части на $v$:

$\frac{n^{\prime }}{n}=1+\frac{u}{v}$,

отсюда 

$u=v(\frac{n^{\prime }}{n}-1)$.

Подставляя сюда $\frac{n^{\prime }}{n}=\frac{550}{450}=\frac{11}{9}$ и $v$ = 300000 километров в cекунду, найдем 

$u=300000(\frac{11}{9}-1)=66000$ км/сек.

Итак, скорость автомобиля должна быть равной 66 тыс. километров в секунду.