Занимательная математика, 1935-06

На эскалаторе метро

Стоя неподвижно на ступени эскалатора московского метро, человек доставляется этой движущейся лестницей от платформы до уровня улицы в течение одной минуты. Тот же человек, взбегая по ступеням неподвижного эскалатора, может добраться до верху в 50 сек.

Во сколько времени доберется до уровня улицы этот человек, если стянет взбегать по поднимающемуся эскалатору?

Многие затрудняются в решении этой задачи, хотя она представляет собою не что иное, как новую форму древней задачи о бассейнах, существующей уже две тысячи лет.

Рассуждаем так. Эскалатор ежесекундно поднимается на \(\frac1{60}\) всей высоты. Человек на неподвижном эскалаторе в одну секунду взбегает на \(\frac1{50}\) полной высоты подъема. Поэтому на движущемся эскалаторе, когда обе скорости складываются, он поднимается в течение секунды на долю \(\frac1{60}+\frac1{50}=\frac{11}{300}\) полной высоты. Теперь легко уже найти продолжительность всего подъема человека, взбегающего на движущемся эскалаторе. Она равна:

\(1\div\frac1{300}=\) около 27.

Человек взбежит вверх в 27 сек.

Какова средняя скорость?

Вычисление средней скорости представляется каждому весьма простым делом. Однако вот весьма несложная на вид задача, в которой требуется определить среднюю скорость, но которую далеко не все читатели смогут решить.

Автомобиль проехал расстояние между двумя городами со скоростью 30 километров в час и возвратился со скоростью 20 километров в час. Какова была средняя скорость его езды?

Не спешите с ответом. Могу с уверенностью сказать, что решение, которое у вас сейчас в уме, —  ошибочно.

Большинство, не размышляя долго, находят арифметическое среднее между 30 и 20, т. е. берут их полусумму 

\(\frac{30+20}2=25\) 

и таким образом узнают, что средняя скорость автомобиля в упомянутую поездку равна 25 километрам в час.

Как ни странно, но это простое и казалось бы бесспорное решение — неверно. Оно было бы верно в том лишь случае, если бы поездка туда и поездка обратно длились одинаковое время. Но в нашем случае обратная поездка должна была отнять больше времени, чем езда туда, — во столько раз больше, во сколько скорость езды туда (30 километров в час) больше скорости возвращения (20 километров в час), а именно \(\frac32\) раза. Необходимо принять в расчет, что со скоростью 30 километров в час автомобиль двигался \(\frac23\) того времени, в течение которого он ехал со скоростью 20 километров в час. Только учтя это обстоятельство, мы сможем прийти к правильному ответу.

Лучше всего прибегнуть при ее решении к «языку алгебры», т. е. к уравнению; арифметическое решение, пожалуй, сложнее.

Обозначим расстояние между городами в километрах буквой l. На поездку туда автомобиль употребил \(\frac l{30}\) часов, а на возвращение \(\frac l{20}\) час.

На весь пробег туда и обратно он употребил

\(\frac l{30}+\frac l{20}\) час.

Средняя скорость измеряется отношением длины пройденного пути (20 к затраченному времени. Значит она выразится так:

\(2l\div(\frac l{30}+\frac l{20})=2\div(\frac{\displaystyle1}{\displaystyle30}+\frac{\displaystyle1}{\displaystyle20})\).

Выполнив вычисление, получаем:

\(2\div(\frac{\displaystyle1}{\displaystyle30}+\frac{\displaystyle1}{\displaystyle20})=2\div\frac5{60}=24\)

Итак, правильный ответ: 24 километра в час, а не 25, как отвечают обычно.

Я. Перельман