Я. ПЕРЕЛЬМАН
ДЕШЕВЫЙ КОСТЮМ
Старинная легенда рассказывает следующий любопытный случай. Один богач разыскивал портного подешевле. Он наткнулся, наконец, на подходящего мастера, который вовсе ничего не требовал ни за материал, ни за пошивку, а просил уплатить лишь за пуговицы.
Всех пуговиц было в костюме тридцать четыре штуки, за первую пуговицу мастер просил одну копейку, за вторую — две копейки, за третью — четыре копейки и т. д. — за каждую следующую вдвое больше, чем за предыдущую. Цена показалась сходной, и костюм был заказан. Богач радовался, что костюм будет ему очень дешево стоить.
Через несколько дней портной принес заказанный костюм и представил счет. Счет вполне отвечал условиям заказа, но тем не менее привел заказчика в отчаяние. Как вы думаете — почему?
И было отчего прийти в отчаяние: пуговицы обошлись круглым числом в 170 миллионов рублей!
Вооружитесь карандашом, возьмите лист бумаги и выполните сами требуемое вычисление. Вы убедитесь, что десятая пуговица стоила всего 5 р. 12 к., зато двадцатая обошлась больше чем в пять тысяч рублей. Цена тридцатой пуговицы превосходила пять миллионов рублей, а последние четыре пуговицы под силу было приобрести разве только крупнейшей акционерной компании. В самом деле:
|
31-я |
стоила |
более |
10 |
миллионов |
руб. |
|
32-я |
» |
» |
21 |
» |
» |
|
33-я |
» |
» |
42 |
» |
» |
|
34-я |
» |
» |
85 |
» |
» |
КАК ДОЙТИ ДО АТОМА?
Предыдущая задача показала, как быстро получаем мы огромные результаты, удваивая последовательно весьма малую величину. Другой пример, ставший уже легендарным, — это общеизвестный рассказ о награде изобретателя шахматной игры: изобретатель попросил в награду за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую — 2 зерна, за третью—4 зерна и т. д. И получилось, что общее количество зерен, за все 64 клетки, превышает хлебные запасы всего земного шара.
Но если последовательным удвоением легко достигнуть чудовищных чисел, то обратно: уменьшая огромное число вдвое, затем снова вдвое и т. д., можно скоро прийти к весьма скромным величинам. Рассмотрим относящуюся сюда поучительную задачу.
В ваших руках бумажный лист. Вы разрываете его пополам; полученную половинку снова делите на две части, вновь полученные — опять пополам и т. д.
Сколько таких делений пополам надо было бы произвести, чтобы в итоге получились отдельные атомы?
Вес атома бумаги можно принять равным \(\frac1{10^{-23}}\) грамма. Это значит, что в одном грамме бумаги заключается число атомов, состоящее из единицы с 23 нулями. Предположим для простоты, что листок бумаги весит 1 грамм.
Попробуем решить эту задачу:
Она сводится к тому, чтобы путем систематического деления пополам уменьшить огромную величину в такое число раз, которое выражается единицей с 23 нулями, т. е. в сто тысяч триллионов раз (под триллионом мы понимаем миллион миллионов миллионов).
Кому не знакомо могущество удвоения, тому, естественно, будет казаться, что число операций, требуемое задачей, чрезвычайно велико и исчисляется миллионами: шутка ли сказать — дойти до атома простым дроблением пополам! На самом деле число операций деления, которое для этого требовалось бы, довольно скромно и не превышает сотни.
Чтобы быстро найти приближенный ответ, примем во внимание следующее соотношение:
\(2^{10}=1024\), или приблизительна \(1 000.\)
Значит, первый десяток делений пополам уменьшает первоначальное число примерно в тысячу раз. Идя дальше, устанавливаем, что:
30 делений пополам дают уменьшение в 1000 миллионов раз
40 делений пополам дают уменьшение в миллион миллионов, т. е. в биллион раз
50 делений пополам дают уменьшение в 1000 биллионов раз
60 делений пополам дают уменьшение в триллион раз
70 делений пополам дают уменьшение в 1000 триллионов раз
80 делений пополам дают уменьшение в миллион триллионов раз
Последнсе число выражается единицей с 24 нулями. Оно больше числа, требуемою задачей, в десять раз. Следовательно, чтобы раздробить бумажный листок на отдельные атомы, надо делить его пополам менее 80 раз.
Комментариев нет:
Отправить комментарий